2018版高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)47 條件概率與二項(xiàng)的分布試題解讀與變式

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1、 考點(diǎn)47 條件概率與二項(xiàng)的分布 【考綱要求】 了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布，并能解決一些簡單問題. 【命題規(guī)律】 條件概率與二項(xiàng)的分布問題在選擇題、填空題以及解答題中都會(huì)考查，在解答題中出現(xiàn)時(shí)難度較大. 【典型高考試題變式】 （一）二項(xiàng)分布 例1.【2017課標(biāo)II】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 . 【答案】 【變式1】已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________. 【答案】

2、 【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得解得. 【變式2】設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為________． 【答案】 【解析】假設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生說明試驗(yàn)成功，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p， 由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，則有1－(1－p)3＝，得p＝， 則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C××＝. （二）條件概率 例2.(2014·課標(biāo)Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6.已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，

3、則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【解析】設(shè)“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A，“連續(xù)兩天為優(yōu)良”為事件AB， 則已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P(B|A)． 由條件概率可知，P(B|A)＝＝＝＝0.8，故選A. 【名師點(diǎn)睛】計(jì)算條件概率有兩種方法． (1)利用定義P(B|A)＝； (2)若n(C)表示試驗(yàn)中事件C包含的基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)＝. 【變式1】先后擲骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6

4、個(gè)點(diǎn)）兩次落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x、y，設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”，事件B為“x、y中有偶數(shù)，且x≠y”，則概率P(B|A)=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【變式2】甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為(　　) A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75 【答案】D 【解析】設(shè)目標(biāo)被擊中為事件B，目標(biāo)被甲擊中為事件A， 則由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5

5、＝0.8， 得P(A|B)＝＝＝＝0.75. 【數(shù)學(xué)思想】 （1）函數(shù)方程思想. （2）轉(zhuǎn)化與化歸思想. 【溫馨提示】 （1）條件概率的問題中：①事件A與事件B有時(shí)是相互獨(dú)立事件，有時(shí)不是相互獨(dú)立事件，要弄清P(AB)的求法．②當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝. （2）注意二項(xiàng)分布滿足的條件： ①每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的． ②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的． ③每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． ④隨機(jī)變量是這n

6、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)． ③注意弄清楚超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系. 【典例試題演練】 1.（黑龍江省大慶第一中學(xué)2014屆高三下學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)（理）試題） 先后擲骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)）兩次落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x、y，設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”，事件B為“x、y中有偶數(shù)，且x≠y”，則概率P (B|A)=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】事件A為“為偶數(shù)”所包含的基本事件數(shù)有,，，，共18種，事件AB為“x、y中有偶數(shù)，且x≠y ，x+y為偶數(shù)”， 所包含的基本事件數(shù)有，共6種，

7、由條件概率計(jì)算公式可得P(B|A)=. 2. 從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A?B，則P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝. 3.()某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為

8、優(yōu)良的概率是(　　) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【答案】A 4.【2017年第一次全國大聯(lián)考（新課標(biāo)卷Ⅱ）】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件“4名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”，事件“甲同學(xué)獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得，故選A． 5. 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6，他重復(fù)投籃5次，若他命中

9、一次得10分，沒命中不得分；命中次數(shù)為X，得分為Y，則E(X)，D(Y)分別為(　　) A.0.6，60 B.3，12 C.3，120 D.3，1.2 【答案】C 【解析】X～B(5，0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120，故選C. 6.若ξ～B(n，p)，且＝6，＝3，則P(ξ＝1)的值為(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

10、np＝6，npq＝3，∴q＝，p＝1－q＝，n＝12.∴p(ξ＝1)＝C·＝3·2－10，故選C. 7. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)，則a＝(　　) A．3 B. C．5 D. 【答案】D 【解析】因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(3,4)，P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)．所以2a－3＋a＋2＝6，a＝. 8. 1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，則從2號(hào)箱

11、取出紅球的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 9. 已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________. 【答案】5 【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得解得p＝. 10. 甲袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)在隨機(jī)地從甲袋中取出一球放入乙袋，然后從乙袋中隨機(jī)地取出一球，則取出的球是白球的概率是________. 【答案】 【解析】設(shè)A表示事件“從甲袋放入乙袋中的球是白球”，B表示事件“最后從乙

12、袋中取出的球是白球”. 所以P(A)＝，P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|A)＝. P (B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝. 11. 如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)＝________． 【答案】 【解析】依題意得，P(A)＝＝，P(AB)＝＝，則由條件概率的意義可知，P(B|A)＝＝. 12. 【2017安徽阜陽二?！恳黄髽I(yè)從某生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，測量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)

13、技術(shù)指標(biāo)值，得到的頻率分布直方圖如圖. （1）估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù)； （2）在直方圖的技術(shù)指標(biāo)值分組中，以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率，若，則產(chǎn)品不合格，現(xiàn)該企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品檢測，記不合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望. 【解析】（1） ， （2）由頻率分布直方圖可知， 所以，所以 13. 【2017江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答. （1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率； （2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)

14、理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【解析】（1）記“該考生在第一次抽到理科題為事件A”，“該考生第二次和第三次均抽到文科題為事件B”，則，. 所以該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次抽到文科題的概率為. （2）的可能取值為0，10，20，30，則， ， ， . 所以的分布列為 0 10 20 30 所以，的數(shù)學(xué)期望. 14. 甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競賽，每

15、班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)總得分． （1）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E； （2）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率． 【解析】（1）的可能取值為0，1，2，3 ;; ;, 所以的分布列為 0 1 2 3 , 15. 【2017年第一次全國大聯(lián)考（山東卷）】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動(dòng)，組織了“迎新春”象棋大賽，已知由1,2,3號(hào)三位男性選手和

16、4,5號(hào)兩位女性選手組成混合組參賽.已知象棋大賽共有三輪，設(shè)三位男性選手在一至三輪勝出的概率依次是；兩名女性選手在一至三輪勝出的概率依次是. （1）若該組五名選手與另一組選手進(jìn)行小組淘汰賽，每名選手只比賽一局，共五局比賽，求該組兩名女性選手的比賽次序恰好不相鄰的概率； （2）若一位男性選手因身體不適退出比賽，剩余四人參加個(gè)人比賽，比賽結(jié)果相互不影響，設(shè)表示該組選手在四輪中勝出的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（1）記兩名女性選手比賽次序恰好不相鄰為事件A，則五人不同的比賽次序?yàn)榉N， 事件A對(duì)應(yīng)的比賽次序?yàn)榉N，所以. （2）男性選手在三輪中勝出的概率為；兩名女性選手在三輪中勝出的概率為.由題意可知男性選手三輪中勝出的人數(shù)； 女性選手三輪比賽中勝出的人數(shù)，顯然. 所以可取. . .. .. 所以的分布列為 0 1 2 3 4 所以. 另，. 9