專題一 第2講 不等式與線性規(guī)劃

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1、第2講不等式與線性規(guī)劃考情解讀1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.2.多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題1四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形0(0(1時，af(x)ag(x)f(x)g(x)；當(dāng)0aag(x)f(x)1

2、時，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；當(dāng)0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2五個重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a0，b0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a0，b0)3二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立

3、的條件是熱點一一元二次不等式的解法例1(1)(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|x0的解集為()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x4 Dx|0x0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b，再解f(2x)0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知條件010x，解得x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故選C.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考的熱點，“三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法(1)不等式0的解集為()A(，1B，1C(，)1，)D(，1，)(2)已知p：x0R，mx10，q：xR，x2

4、mx10.若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A(2)C解析(1)原不等式等價于(x1)(2x1)0或x10，即x1或x1，所以不等式的解集為(，1，選A.(2)pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m0；命題q為真時，m240，解得2m2.故pq為真時，2m0，且1.所以()2(當(dāng)且僅當(dāng)，即m，n2時，取等號)所以，即mn3，所以mn的最大值為3.(2)2x2(xa)2a22a42a，由題意可知42a7，得a，即實數(shù)a的最小值為，故選B.熱點三簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900

5、名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思維啟迪通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題答案C解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時租金為z元，則z1 600x2 400y,x、y滿足畫出可行域如圖直線yx過點A(5,12)時縱截距最小，所以zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的

6、字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)(1)已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是()A2 B2 C1 D1(2)(2013北京)設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D.答案(1)D(2)C解析(1)畫出可行域，如圖所示w表示可行域內(nèi)的點(x，y)與定點P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1，故選D.(2)當(dāng)m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二

7、象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0，y0)滿足x02y02，因此m0.如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點(m，m)在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m.1幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解

8、決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可3線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)定域畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；(2)平移畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；(3)求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐

9、標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值.真題感悟1(2014山東)已知實數(shù)x，y滿足axay(0a Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3答案D解析因為0a1，axy.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x1，y0時，1，A不成立B中，當(dāng)x0，y1時，ln 10，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1a.所以a的取值范圍是1a.押題精練1為了迎接2014年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P3，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(102P)萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為(4)萬元/萬件則促銷費用投入 萬元時，廠家的利潤最大？()

10、A1 B1.5C2 D3答案A解析設(shè)該產(chǎn)品的利潤為y萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為2()萬元，所以y2()P102Px16x(x0)，所以y17(x1)17213(當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時取等號)，所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，故選A.2若點P(x，y)滿足線性約束條件點A(3，)，O為坐標(biāo)原點，則的最大值為_答案6解析由題意，知(3，)，設(shè)(x，y)，則3xy.令z3xy，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過點B時，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值為316.即的最大值為6.(推薦時間：50分鐘)一、選擇題1(2014四川)若ab0，cd B. D.答案D解

11、析令a3，b2，c3，d2，則1，1，所以A，B錯誤；，所以lg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析應(yīng)用基本不等式：x，y0，(當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號)逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件當(dāng)x0時，x22xx，所以lglg x(x0)，故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當(dāng)xk，kZ時，sin x的正負(fù)不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當(dāng)x0時，有1，故選項D不正確3(2013重慶)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于()A. B.C. D.答案A解

12、析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2014重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故選D.5已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為()A9 B8C7 D6答案B解析約束條件所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過A(1,4)時取得最大值，故zx2y1的最大值

13、為12418.二、填空題6已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1ln x)|1的解集是_答案(，e2)解析|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上為減函數(shù)，01ln x3，1ln x2，x0，則的最小值為_答案解析點A(1,1)在直線2mxny20上，2mn2，()(21)(32)，當(dāng)且僅當(dāng)，即nm時取等號，的最小值為.三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍解(1)由x

14、22x80得4x0，即x1時y211，此時x0，符合要求；當(dāng)x10，即x0時，Cx|4x，不可能CRA；當(dāng)a0時，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a0.故a的取值范圍為，0)10已知函數(shù)f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0x11x20；(2)若za2b，求z的取值范圍(1)證明求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)ax22bx2b.由函數(shù)f(x)在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，知x1、x2是f(x)0的兩個根，所以f(x)a(xx1)(xx2)當(dāng)x0，由xx10，xx20.(2)解在題設(shè)下，0x11x22等價于即化簡得此不等式組表示的區(qū)域為平

15、面aOb上的三條直線：2b0，a3b20,4a5b20所圍成的ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為A，B(2,2)，C(4,2)z在這三點的值依次為，6,8.所以z的取值范圍為(，8)11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：萬元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷售額S(單位：萬元)與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤LSC，且當(dāng)x2時，L3.(1)求k的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值解(1)由題意可得L因為當(dāng)x2時，L3，所以3222，解得k18.(2)當(dāng)0x6時，L2x2，所以L2(x8)182(8x)182186，當(dāng)且僅當(dāng)2(8x)，即x5時取得等號當(dāng)x6時，L11x5.所以當(dāng)x5時L取得最大值6.所以當(dāng)日產(chǎn)量為5噸時，每日的利潤可以達(dá)到最大，最大值為6萬元