高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案文數(shù)創(chuàng)新版文檔：題型1 第4講 不等式、線性規(guī)劃 Word版含解析

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1、 第4講　不等式、線性規(guī)劃 [考情分析]　不等式的性質(zhì)、求解、證明及應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題．(2)不等式的相關(guān)知識可以滲透到高考的各個知識領(lǐng)域，往往作為解題工具與數(shù)列、函數(shù)、向量相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難度中檔，在解答題中，特別是在解析幾何中利用不等式求最值、范圍或在解決導(dǎo)數(shù)問題時利用不等式進行求解，難度偏高． 熱點題型分析 熱點1　不等式的性質(zhì)及解法 1.利用不等式的性質(zhì)比較大小要注意特殊值法的應(yīng)用． 2.一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c

2、＞0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． 3.簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)? 1.已知a>b>0，給出下列四個不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為(　　) A.①②③ B．①②④ C.①③④ D．②③④ 答案　A 解析　解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)， ∴f(a)

3、>f(b－1)，即2a>2b－1，所以②成立； ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，所以③成立； 若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36， 有a3＋b3<2a2b，所以④不成立．故選A. 解法二：令a＝3，b＝2， 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故選A. 2.函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A.[0,3] B.(0,3) C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　要使函數(shù)f(x)＝有意義，則3x－x2≥0，即x2－3x

4、≤0?x(x－3)≤0，解得0≤x≤3，故選A. 3.不等式≤1的解集為(　　) A.{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C.{x|1

5、略二次項系數(shù)為負(fù)，由3x－x2≥0得出選項C. 3.解不等式時同解變形出錯，第3題易出現(xiàn)的問題有兩個方面：一是錯用不等式的性質(zhì)直接把不等式化為2x－4≤x－1求解；二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件，導(dǎo)致增解. 熱點2　基本不等式及其應(yīng)用 1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2.(簡記：積定和最小) (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2.(簡記：和定積最大) 2.利用基本不等式解決條件最值問題的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值，主要有兩種思路： (1)通

6、過變形直接利用基本不等式解決． (2)對條件變形，根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”，通過“1”的代換、添項、分離常數(shù)等手段使之能運用基本不等式．常見的轉(zhuǎn)化方法有： ①若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)·1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均為正數(shù))； ②x＋＝x－a＋＋a≥a＋2(x>a，b>0)． 1.下列結(jié)論正確的是(　　) A.當(dāng)x>0且x≠1，lg x＋≥2 B.<1(x∈R) C.當(dāng)x>0時，＋≥2 D.當(dāng)0

7、不成立；對于C，當(dāng)x>0時，＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立；對于D，當(dāng)0－1，則函數(shù)y＝的最小值為________． 答案　9 解析　∵x>－1，∴x＋1>0，∴y＝＝＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝1時取“＝”(由于x>－1，故x＝－3

8、舍去)，∴y＝的最小值為9. 4.(2018·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________． 答案　9 解析　由題意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，化簡得ac＝a＋c，＋＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a＝3時取等號，則4a＋c的最小值為9. 1.利用均值不等式求解最值時，要注意三個條件，即“一正——各項都是正數(shù)；二定——和或積

9、為定值；三等——能取到使等號成立的值”，這三個條件缺一不可． 2.第2題易出錯的地方是：不會“湊”，不能根據(jù)函數(shù)解析式的特征適當(dāng)變形湊出兩式之和為定值；第3題是分子展開后不能變形湊出兩式之積為定值．第4題利用“1”的代換或配湊使和為定值或積為定值時，代數(shù)式的變形要注意保持等價. 熱點3　簡單的線性規(guī)劃問題 1.解決線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)畫出可行域；(2)根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；(3)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值． 2.常見代數(shù)式的幾何意義 (1)z＝Ax＋By表示與直線y＝－x＋在y軸上的截距成比例的數(shù)； (2)z＝(x－a)2＋(y－b)2區(qū)

10、域內(nèi)動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方； (3)z＝表示區(qū)域內(nèi)動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率． 3.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法 (1)首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好； (2)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍． 4.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟 (1)分析題意，設(shè)出未知量； (2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)； (3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解； (4)作答． 題型1　已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值 1.(2019·全國卷Ⅱ)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x

11、－y的最大值是________． 答案　9 解析　作出已知約束條件對應(yīng)的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當(dāng)直線y＝3x－z過點C時，－z最小，即z最大． 由解得 即C點坐標(biāo)為(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9. 2.(2019·晉城一模)若x，y滿足約束條件 則z＝x2＋y2－4x－6y＋13的最小值為________． 答案　 解析　畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)， 由于z＝x2＋y2－4x－6y＋13＝(x－2)2＋(y－3)2，故z表示可行域內(nèi)的點A(x，y)與定點P(2,3)間距離的平方，即z＝|PA|2. 由圖形可得|PA|的最小值即為

12、點P(2，3)到直線x＋y－4＝0的距離d＝＝， 所以zmin＝d2＝. 第1、2題易錯在不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義而不知如何變形. 題型2　已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù) 1.(2019·華南師大附中一模)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(　　) A. B. C．1 D．2 答案　A 解析　由約束條件畫出可行域(如圖所示三角形及其內(nèi)部)．由得B(1，－2a)．當(dāng)直線2x＋y－z＝0過點B時，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故選A. 2.已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝(　　)

13、A.3 B．2 C．－2 D．－3 答案　B 解析　不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示， 若z＝ax＋y的最大值為4， 則y＝－ax＋z截距的最大值為4. ①若a<0，則不滿足條件； ②若a>0，當(dāng)－a<－1，即a>1時，x＝2，y＝0是最優(yōu)解，此時a＝2；當(dāng)－a>－1，即01(舍)．故選B. 第1題易在分析動直線的位置時出錯，忽略直線y＝a(x－3)恒過定點(3,0)而不好確定可行域；第2題需明確目標(biāo)函數(shù)中z與直線y＝－ax＋z截距最值相同，易忽視關(guān)于a的正負(fù)討論而漏解或錯解. 題型3　線性

14、規(guī)劃的實際應(yīng)用 (2019·黃岡聯(lián)考)一個小型加工廠用一臺機器生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝飲料，生產(chǎn)一桶甲飲料需要白糖4千克，果汁18千克，用時3小時；生產(chǎn)一桶乙飲料需要白糖1千克，果汁15千克，用時1小時．現(xiàn)庫存白糖10千克，果汁66千克，生產(chǎn)一桶甲飲料利潤為200元，生產(chǎn)一桶乙飲料利潤為100元，在使用該機器用時不超過9小時的條件下，生產(chǎn)甲、乙兩種飲料利潤之和的最大值為________. 答案　600 解析　設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種飲料分別為x桶、y桶，利潤為z元， 則得即 目標(biāo)函數(shù)z＝200x＋100y. 作出可行域(如圖陰影部分所示)．當(dāng)直線z＝200x＋100y經(jīng)過可行域上點B時，z取

15、得最大值． 解方程組得點B的坐標(biāo)(2,2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600. 1.線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得． 2.在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用問題時要注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負(fù)數(shù)等. 真題自檢感悟 1.(2019·全國卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A

16、.a1,0c>a.故選B. 2.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－15 B．－9 C．1 D．9 答案　A 解析　不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示． 將目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x，并平移該直線，知當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－6，－3)時，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故選A. 3.(2017·天津高考)已知函數(shù)f

17、(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C.[－2，2] D. 答案　A 解析　關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等價于－f(x)≤a＋≤f(x)， 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立， 令g(x)＝－f(x)－. 當(dāng)x≤1時，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3 ＝－2－， 當(dāng)x＝時，g(x)max＝－； 當(dāng)x＞1時，g(x)＝－－＝－≤－2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，且x＞1，即x＝時，“＝”成立， 故g(x)max＝－2. 綜上，g(x)max＝－. 令h(x)＝f(x)－， 當(dāng)x≤1時，

18、h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3 ＝2＋， 當(dāng)x＝時，h(x)min＝； 當(dāng)x＞1時，h(x)＝x＋－＝＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，且x＞1，即x＝2時，“＝”成立， 故h(x)min＝2. 綜上，h(x)min＝2. 故a的取值范圍為.故選A. 4.(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________． 答案　 解析　由a－3b＋6＝0可知a－3b＝－6，且2a＋＝2a＋2－3b， 因為對于任意x,2x>0恒成立， 結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得， 2a＋2－3b≥2＝2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立． 綜上可得2a＋的最小值為.

19、 專題作業(yè) 一、選擇題 1.(2019·北京高考)若x，y滿足|x|≤1－y，且y≥－1，則3x＋y的最大值為(　　) A.－7 B．1 C．5 D．7 答案　C 解析　由|x|≤1－y，且y≥－1，得作出可行域如圖陰影部分所示．設(shè)z＝3x＋y，則y＝－3x＋z.作直線l0：y＝－3x，并進行平移．顯然當(dāng)l0過點A(2，－1)時，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故選C. 2.不等式≤0的解集為(　　) A. B. C.∪[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案　A 解析　≤0? 解得即－

20、b＝1，則下列不等式成立的是(　　) A.a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋ C.a＋＜log2(a＋b)＜ D.log2(a＋b)＜a＋＜ 答案　B 解析　∵a＞b＞0，ab＝1， ∴l(xiāng)og2(a＋b)＞log2(2)＝1. ∵a>b>0且ab＝1，∴a2>ab>b2，則a>1,02，∴0<<，則<. ∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)， ∴

21、)＜a＋.故選B. 4.(2019·北京師范大學(xué)附中模擬)已知a>0，b>0，并且，，成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為(　　) A.16 B．9 C．5 D．4 答案　A 解析　∵，，成等差數(shù)列，∴＋＝1. ∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1，即a＝4，b＝時等號成立．∴a＋9b的最小值為16，故選A. 5.已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2的值域為(－∞，0)∪(4，＋∞)，則a的值是(　　) A. B. C．1 D．2 答案　C 解析　由題意可得a>0，①當(dāng)x>0時，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取等號；②當(dāng)x<0時，f(

22、x)＝x＋＋2≤－2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時取等號，所以解得a＝1，故選C. 6.(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A.a>b>c B．b>a>c C.c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知， a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e，據(jù)此可得，c>a>b.故選D. 7.已知x，y>0且x＋4y＝1，則＋的最小值為(　　) A.8 B．9 C．10 D．11 答案　B 解析　∵x，y>0且x＋4y＝1，∴＋＝(x＋4y)＝5＋4·＋

23、≥5＋2＝5＋4＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)4·＝即或(舍去)時等號成立．故選B. 8.(2019·華大新高考聯(lián)盟模擬)若實數(shù)x，y滿足不等式組則x2＋y2的取值范圍是(　　) A. B．[0,2] C. D．[0，] 答案　B 解析　畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)， x2＋y2的幾何意義是陰影內(nèi)的點到原點的距離的平方，顯然O點為最小值點，而A(1,1)為最大值點，故x2＋y2的取值范圍是[0,2]．故選B. 9.若x，y滿足約束條件則的最大值為(　　) A.1 B．－1 C．3 D．0 答案　C 解析　作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點

24、與原點連線的斜率，由圖可知，點A(1,3)與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.故選C. 10.若直線l：kx－y＋1＝0上不存在滿足不等式組的點(x，y)，則實數(shù)k的取值范圍為(　　) A.(－∞，0]∪ B. C.(－∞，0)∪ D. 答案　D 解析　實數(shù)x，y滿足對應(yīng)的可行域如圖中陰影部分： 直線l：kx－y＋1＝0可化為y＝kx＋1，故直線l過定點C(0,1)，由圖可知，當(dāng)直線l過的交點A(1,1)時，k＝0；當(dāng)直線l過的交點B時，k＝. 由此可知當(dāng)0

25、則＋的最小值為(　　) A.16 B．9 C．6 D．1 答案　C 解析　∵正數(shù)a，b滿足：＋＝1，∴a>1且b>1.＋＝1可變形為＝1，∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0，∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝，∵a－1>0， ∴＋＝＋9(a－1)≥2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)＝9(a－1)，即a＝時取“＝”，∴＋的最小值為6.故選C. 12.(2019·太原模擬)已知正數(shù)a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.[3，＋∞) B．(－∞，3] C.(－∞，6] D．[6，＋∞) 答案　D 解析　∵a>0，b>0

26、，且＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋ ≥10＋2＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝4，b＝12時等號成立，所以(a＋b)min＝16. 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數(shù)x恒成立，則－x2＋4x＋18－m≤16，即m≥－x2＋4x＋2對任意實數(shù)x恒成立， ∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，∴m≥6. ∴實數(shù)m的取值范圍是[6，＋∞)．故選D. 二、填空題 13.已知實數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實數(shù)m等于________． 答案　5 解析　繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)， 聯(lián)立直線方程可得交點坐標(biāo)

27、為A，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最小值，所以－＝－1，解得m＝5. 14.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________． 答案　30 解析　一年的總運費為6×＝(萬元)． 一年的總存儲費用為4x萬元． 總運費與總存儲費用的和為萬元． 因為＋4x≥2 ＝240， 當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝30時取得等號， 所以當(dāng)x＝30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小. 15.(2019·衡水中學(xué)檢測)設(shè)滿足的實數(shù)x，y所在的平面區(qū)域為Ω，則Ω

28、的外接圓方程是______________． 答案　(x－1)2＋(y－3)2＝10 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域Ω，如圖陰影部分所示．則區(qū)域Ω是四邊形ABCO(含內(nèi)部及邊界)．易知BC⊥AB，則外接圓的圓心為AC的中點，又A(0,6)，C(2,0)，則該四邊形外接圓的圓心為(1,3)，半徑r＝|AC|＝.故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10. 16．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________． 答案　3 解析　x2＋y2≤1表示圓x2＋y2＝1及其內(nèi)部，易得直線6－x－3y＝0與圓相離，故|6－x－3y|＝6－x－3y，當(dāng)2x＋y－2≥0時，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝x－2y＋4，如下圖所示，可行域為小的弓形內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y＋4，則可知當(dāng)x＝，y＝時，zmin＝3，當(dāng)2x＋y－2≤0時，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝8－3x－4y，可行域為大的弓形內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z＝8－3x－4y，同理可知當(dāng)x＝，y＝時，zmin＝3，綜上所述，(|2x＋y－2|＋|6－x－3y|)min＝3.