高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí)：第八章 解析幾何 課時作業(yè)48 Word版含解析

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1、 課時作業(yè)48　橢圓 　　　　　　　　　　　　　 1．已知三點P(5,2)，F(xiàn)1(－6,0)，F(xiàn)2(6,0)，那么以F1，F(xiàn)2為焦點且經(jīng)過點P的橢圓的短軸長為(　B　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：因為點P(5,2)在橢圓上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，則b＝3，故橢圓的短軸長為6，故選B. 2．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　B　) A. B. C. D. 解析：由題意知a＝3，b＝，c＝2. 設(shè)線段PF1的

2、中點為M， 則有OM∥PF2， ∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2， ∴|PF2|＝＝. 又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝， ∴＝×＝，故選B. 3．已知點P是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，M為△PF1F2的內(nèi)心，若S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2成立，則λ的值為(　D　) A. B. C. D．2 解析：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r， 因為S△MPF1＝λS△MF1F2－S△MPF2， 所以S△MPF1＋S△MPF2＝λS△MF1F2； 由橢圓的定義可知 |PF1|＋|PF2|＝2a，|F1

3、F2|＝2c， 所以ar＝λcr，c＝， 所以λ＝＝2. 4．(2019·安徽宣城一模)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左頂點為M，上頂點為N，右焦點為F，若·＝0，則橢圓的離心率為(　D　) A. B. C. D. 解析：由題意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(xiàn)(c,0)， ∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)． ∵·＝0， ∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac. 又知b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac. ∴e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍)． ∴橢圓的離心率為，故選D. 5．(2019·湖北重點中學(xué)聯(lián)考)已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F

4、2且垂直于長軸的直線交橢圓于A，B兩點，則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為(　D　) A. B．1 C. D. 解析：法一：不妨設(shè)A點在B點上方， 由題意知，F(xiàn)2(1,0)，將F2的橫坐標代入橢圓方程＋＝1中， 可得A點縱坐標為， 故|AB|＝3，所以內(nèi)切圓半徑r＝＝＝(其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長)， 故選D. 法二：由橢圓的通徑公式得|AB|＝＝3，則S△ABF1＝×2×3＝3，又易得△ABF1的周長C＝4a＝8，則由S△ABF1＝C·r可得r＝.故選D. 6．(2019·豫南九校聯(lián)考)已知兩定點A(－1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：y

5、＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為(　A　) A. B. C. D. 解析：不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞1)， 與直線l的方程聯(lián)立得 消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0， 由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥， 所以e＝＝≤， 所以e的最大值為.故選A. 7．(2019·河北衡水中學(xué)模擬)設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為－5. 解析：由橢圓的方程可知F2(3,0)， 由橢圓的定義可得

6、|PF1|＝2a－|PF2|， ∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a， 當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)2三點共線時取得等號， 又|MF2|＝＝5,2a＝10， ∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5， 即|PM|－|PF1|的最小值為－5. 8．過點M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于. 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，① ＋＝1.② ①、②兩式相減并整理得＝－·. 結(jié)合已知條件得，－＝－×， ∴＝， 故橢圓的離

7、心率e＝ ＝. 9．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，則b＝3. 解析：由題意得|PF1|＋|PF2|＝2a， 又∠F1PF2＝60°， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2， 所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝b2， 所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3. 10．橢圓M：＋＝1(a＞b

8、＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范圍是[2b2,3b2]，橢圓M的離心率為e，則e－的最小值是－. 解析：由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|·|PF2|≤2＝a2， ∴2b2≤a2≤3b2， 即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2， ∴≤≤，即≤e≤. 令f(x)＝x－， 則f(x)在上是增函數(shù)， ∴當(dāng)e＝時，e－取得最小值－＝－. 11．已知點A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點． (1)求E的方程； (2)設(shè)過點

9、A的動直線l與E相交于P，Q兩點．當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程． 解：(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)l⊥x軸時不合題意， 故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 將y＝kx－2代入＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當(dāng)Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞時， x1,2＝. 從而|PQ|＝|x1－x2|＝. 又點O到直線PQ的距離d＝， 所以△OPQ的面積 S△OPQ＝d·|PQ|＝. 設(shè)＝t， 則t＞0，S△OPQ＝＝. 因為

10、t＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2， 即k＝±時等號成立，且滿足Δ＞0， 所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時，l的方程為 y＝x－2或y＝－x－2. 12．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,0)，(0，b)的直線的距離為c. (1)求橢圓E的離心率； (2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程． 解：(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，則原點O到該直線的距離d＝＝， 由d＝c，得a＝2b＝2， 可得離心率＝. (2)解法一：由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝

11、4b2.① 依題意，圓心M(－2,1)是線段AB的中點，且|AB|＝. 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，得－＝－4， 解得k＝.從而x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ |x1－x2| ＝ ＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 解法二：由(1)知， 橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.?、? 依題意，點A，B關(guān)于圓心M(－2,1)對稱，且|AB

12、|＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2， 兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0. 易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2， 所以AB的斜率kAB＝＝. 因此直線AB的方程為y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ |x1－x2|＝＝. 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 13．設(shè)F是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點，P是C上的點，圓x2＋y2＝與線段PF交于A，B兩

13、點，若A，B是線段PF的兩個三等分點，則橢圓C的離心率為(　D　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，設(shè)線段AB的中點為D， 連接OD，OA，設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為F，F(xiàn)1， 連接PF1. 設(shè)|OD|＝t，因為點A，B是線段PF的兩個三等分點， 所以點D為線段PF的中點， 所以O(shè)D∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF. 因為|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6， 根據(jù)橢圓的定義，得|PF|＋|PF1|＝2a， ∴6＋2t＝2a， 解得t＝或t＝0(舍去)． 所以|PF|＝，|PF1|＝. 在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|F

14、F1|2， 即2＋2＝(2c)2， 得＝， 所以橢圓C的離心率e＝＝. 14．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得＝，則該橢圓離心率的取值范圍為(　D　) A．(0，－1) B. C. D．(－1,1) 解析：在△MF1F2中，＝， 而＝， ∴＝＝.① 又M是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點， ∴|MF1|＋|MF2|＝2a.② 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝. 顯然|MF2|＞|MF1|， ∴a－c＜|MF2|＜a＋c， 即a－c＜＜a＋c， 整理得c2＋2ac－a2＞0，∴

15、e2＋2e－1＞0， 又0＜e＜1，∴－1＜e＜1，故選D. 15．過橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的動點M作圓x2＋y2＝的兩條切線，切點分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點分別為E和F，則△EOF面積的最小值是. 解析：設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則直線MP和MQ的方程分別為x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝. 因為點M在MP和MQ上， 所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，則P，Q兩點的坐標滿足方程x0x＋y0y＝， 所以直線PQ的方程為x0x＋y0y＝， 可得E和F， 所以S△EOF＝·|OE||OF|＝， 因為b2y＋a2x＝

16、a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|， 所以|x0y0|≤， 所以S△EOF＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)b2y＝a2x＝時取“＝”， 故△EOF面積的最小值為. 16．(2019·山東濟寧一模)已知橢圓C：＋＝1(a＞2)，直線l：y＝kx＋1(k≠0)與橢圓C相交于A，B兩點，點D為AB的中點． (1)若直線l與直線OD(O為坐標原點)的斜率之積為－，求橢圓C的方程； (2)在(1)的條件下，y軸上是否存在定點M，使得當(dāng)k變化時，總有∠AMO＝∠BMO(O為坐標原點)？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2＝0，顯然Δ＞0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴x0＝－，y0＝－＋1＝， ∴k·＝k·＝－， ∴a2＝8.∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在定點M符合題意，且設(shè)M(0，m)， 由∠AMO＝∠BMO得kAM＋kBM＝0. ∴＋＝0. 即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)＝0， ∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)＝0. 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴－－＋＝0， ∴＝0，即＝0， ∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4. ∴存在定點M(0,4)， 使得∠AMO＝∠BMO.