數(shù)學：112《分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理》（2）課件（人教A版選修）

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1、1.1.2分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理(二二)1、分類加法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有：完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方種不同的方法法. .12nNmmm2 2、分步乘法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n個步個步驟，做第驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,做

2、第做第2 2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的共同點：共同點：不同點：不同點：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)。分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)?；卮鸬亩际怯嘘P(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理完成一件事，共有完成一件事，共有n類辦法，關(guān)

3、鍵詞類辦法，關(guān)鍵詞“分類分類”區(qū)別區(qū)別1完成一件事，共分完成一件事，共分n個步驟，關(guān)鍵詞個步驟，關(guān)鍵詞“分步分步”區(qū)別區(qū)別2區(qū)別區(qū)別3每類辦法都能獨立地每類辦法都能獨立地完成這件事情，它是完成這件事情，它是獨立的、一次的、且獨立的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)每次得到的是最后結(jié)果，果，只須一種方法就只須一種方法就可完成這件事?？赏瓿蛇@件事。每一步得到的只是中間結(jié)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，步也不能完成這件事，只只有各個步驟都完成了，才有各個步驟都完成了，才能完成這件事。能完成這件事。各類辦法是

4、互相獨立的。各類辦法是互相獨立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：即：類類獨立，步步關(guān)聯(lián)類類獨立，步步關(guān)聯(lián)。例例1：要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出幅不同的畫中選出2幅，幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？少種不同的掛法？ 變式變式1:1:要把要把3 3個球放入個球放入2 2兩個不同的口袋兩個不同的口袋, ,有幾種不有幾種不同的放法同的放法? ? 變式變式2:2: 要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3 3名工人中選出名工人中選出2 2名分別上名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？日班和晚班，有多少種不同的

5、選法？ 變式變式3:3: 要把要把1,2,3,41,2,3,4四個數(shù)放入下面三個格子里四個數(shù)放入下面三個格子里, ,數(shù)字不可重復數(shù)字不可重復, ,有多少種不同的放法？有多少種不同的放法？ 變式變式4:4:體育彩票中的排列體育彩票中的排列5 5中獎號碼有中獎號碼有5 5位數(shù)碼，每位數(shù)位數(shù)碼，每位數(shù)若是若是0-90-9這十個數(shù)字中任一個，則產(chǎn)生中獎號碼所有可能的這十個數(shù)字中任一個，則產(chǎn)生中獎號碼所有可能的種數(shù)是多少？種數(shù)是多少？10=10510101010變式變式5 5：0-90-9這十個數(shù)一共可以組成多少這十個數(shù)一共可以組成多少5 5位數(shù)字？位數(shù)字？9=9 10410101010注意：分步乘法計

6、數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法數(shù)數(shù) 變式變式6 6：0-90-9這十個數(shù)一共可以組成多少個數(shù)字不重復這十個數(shù)一共可以組成多少個數(shù)字不重復的的5 5位數(shù)字？位數(shù)字？9 9=27216=272169 98 87 76 6 變式變式7:7:如圖如圖, ,要給下面要給下面A A、B B、C C、D D四個區(qū)域分別涂上四個區(qū)域分別涂上5 5種種不同顏色中的某一種不同顏色中的某一種, ,允許同一種顏色使用多次允許同一種顏色使用多次, ,但相鄰區(qū)域但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色必須涂不同的顏色, ,不同的涂色方案有多少種？不同的涂色方案有多少種？N = 5 4 34 = 240

7、注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法注意：分步乘法計數(shù)關(guān)鍵要算好每一步的方法數(shù)數(shù)變式變式8. 8. 五名學生報名參加四項體育比賽，每五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們?nèi)讼迗笠豁?，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，冠軍獲得者有多少種爭奪這四項比賽的冠軍，冠軍獲得者有多少種不同可能性（沒有并列冠軍）？不同可能性（沒有并列冠軍）？ 解：（解：（1）5名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學生都有個學生都有4種報名方法，種報名方法，5名學生都報了項目才能算完成名學生都報了項目才能算完成這一事件故報名方

8、法種數(shù)為這一事件故報名方法種數(shù)為44444= 種種 .54（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍，因此其中的一項獲軍，因此冠軍獲得者冠軍獲得者有有5種可能性，故有種可能性，故有n=5= 種種 .45例例2.給程序模塊命名，需要用給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字個字符，其中首個字符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后兩個要求用數(shù)字，后兩個要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個程序命名？，問最多可以給多少個程序命名？分析：分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首

9、字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613種不同的選法，種不同的選法，答：答：最多可以給最多可以給10531053個程序命名。個程序命名。中間字符和末位字符各有中間字符和末位字符各有9種不同的選法種不同的選法根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法種不同的選法?,100.,.,4.,.3分子少種不同的那么能有多個堿基組成分子由有一類假設(shè)位置上的堿基無關(guān)個位置上的堿基與其他所以在任意一序出現(xiàn)各種堿基能夠以任意次中分子在一個表示分別用同的堿基種不總共有分所占據(jù)一種

10、稱為堿基的化學成由長鏈中每一個位置上都至數(shù)千個位置的長鏈甚分子是一個有著數(shù)百個一個的化學成分現(xiàn)分子是在生物細胞中發(fā)核糖核酸例RNARNARNAUGCARNARNA.U,G,C,A,100,100任選一個來占據(jù)任選一個來占據(jù)中中每個位置都可以從每個位置都可以從個位置個位置這時我們有這時我們有個堿基組成的長鏈個堿基組成的長鏈用下面的圖來表示由用下面的圖來表示由分析分析位位第第1位位第第2位位第第3位位第第100種種4種種4種種4種種4 .4,U,G,C,A,.,100100充方法種填每個位置有中任選一個填入從置中從左到右依次在每個位如上圖所示個位置個堿基組成的長鏈共有解長度為根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,

11、分子數(shù)目有的所有可能的不同RNA100.4444100個 4100個.NAR.,106.1460100資資料料的的有有關(guān)關(guān)閱閱一一下下以以自自己己查查的的同同學學可可有有興興趣趣數(shù)數(shù)非非常常大大的的這這是是一一個個例例4.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有用了每一位只有0或或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一算機能夠

12、識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由個二進制位構(gòu)成，問量單位，每個字節(jié)由個二進制位構(gòu)成，問（1）一個字節(jié)（）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？位）最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機漢字國標碼（）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了碼）包含了6763個漢字，一個漢個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？少個字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種

13、2種如如00000000，10000000，11111111.,1 , 0,8數(shù)原理求解本題因此可以用分步乘法計字符同的而且不同的順序代表不兩種選擇值都有每一位上的個二進制位由于每個字節(jié)有分析;256222222222,.2,88個不同的字符一個字節(jié)最多可以表示法計數(shù)原理根據(jù)分步乘種選擇每位上有位一個字節(jié)有來表示一個字節(jié)用圖解31.1位位第第1位位第第2位位第第3位位第第8種種2種種2種種2種種2 31.1圖圖 .256,256.2,6763,12種表示方法后一個字節(jié)也有種不同的表示方法前一個字節(jié)有能夠表示多少個字符個字節(jié)我們就考慮用個字符不夠不同用一個字節(jié)所能表示的知由.2,.6763,53

14、6652562562 ,個字節(jié)表示每個漢字至少要用所以要表示這些漢字的漢字個數(shù)經(jīng)大于漢字國標碼包含這已個不同字符示個字節(jié)可以表根據(jù)分步乘法計數(shù)原理開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例例5.計算機編程人員在編計算機編程人員在編寫好程序以后要對程序進寫好程序以后要對程序進行測試。程序員需要知道行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般的，一個測試數(shù)據(jù)。一般的，一個程序模塊又許多子模塊組

15、程序模塊又許多子模塊組成，它的一個具有許多執(zhí)成，它的一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：行路徑的程序模塊。問：這個程序模塊有多少條執(zhí)這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測行路徑？另外為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計一個測試方式，程序員設(shè)計一個測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：分析：整個模塊的任整個模塊的任意一條路徑都分兩步意一條路徑都分兩步完成完成：第第1步步是從開是從開始執(zhí)行

16、到始執(zhí)行到A點；點；第第2步步是從是從A點執(zhí)行到結(jié)束點執(zhí)行到結(jié)束。而第一步可由子模塊而第一步可由子模塊1或子模塊或子模塊2或子模塊或子模塊3來完成；第二步可來完成；第二步可由子模塊由子模塊4或子模塊或子模塊5來完成。因此，分析來完成。因此，分析一條指令在整個模塊一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。兩個計數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測試各個模塊之間的信再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個子模

17、塊都正常工如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整個程序模塊就正常。整個程序模塊就正常。這樣，測試整個這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)槟K的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）（次）2）在實際測試中，程序）在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊。塊的方式來測試整個模塊。這樣，他可以先分別單獨這樣，他可以先分別單獨測試測試5個模塊，以考察每個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常。個子模塊的工作是

18、否正常?？偣残枰臏y試次數(shù)為：總共需要的測試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。例例6.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有個不重復的英文字母照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有個不重復的英文字母和個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且個字母必須合成一組出現(xiàn)，和個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且個字母必須合成一組出現(xiàn)，個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種

19、辦法共能給多少輛汽車上牌照車上牌照?.6.,2,個個步步驟驟的的字字母母和和數(shù)數(shù)字字可可以以分分確確定定一一個個牌牌照照在在右右母母組組合合在在左左和和字字母母組組合合即即字字類類牌牌照照可可以以分分為為按按照照新新規(guī)規(guī)定定分分析析.,2類的字母組合在右另一一類字母組合在左類將汽車牌照分為解:6,字母和數(shù)字照的個步驟確定一個汽車牌分字母組合在左時;26,126,1種選法有放在首位個個字母中選從步第;25,2,125,2種選法有位放在第個個字母中選從剩下的步第;24,3,124,3種選法有位放在第個個字母中選從剩下的步第;10,4,110,4種選法有位放在第個個數(shù)字中選從步第;9,5,19,5種

20、選法有位放在第個個數(shù)字中選從剩下的步第.8,6,18,6種選法有位放在第個個數(shù)字中選從剩下的步第.000232118910242526,個有字母組合在左的牌照共根據(jù)分步乘法計數(shù)原理.00023211,個有字母組合在右的牌照也同理.224640001123200011232000,輛汽車上牌照共能給所以?題的方法嗎法計數(shù)原理解決計數(shù)問法計數(shù)原理、分步乘你能歸納一下用分類加思考1、乘積、乘積 展開后共有幾項？展開后共有幾項？)()(54321321321cccccbbbaaa2、某商場有、某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個個門，如果某人從其中的任意一個門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有

21、多門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？少種不同的進出商場的方式？ 弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提和條件提和條件. .這兩個原理都是指完成一件事這兩個原理都是指完成一件事, ,區(qū)別在于區(qū)別在于：（1 1）分類分類加法加法計數(shù)原理是計數(shù)原理是“分類分類”，每類辦法，每類辦法 中的每一種方法都能中的每一種方法都能完成一件事；完成一件事；（2 2）分步分步乘法乘法計數(shù)原理是計數(shù)原理是“分步分步”；每種方法；每種方法 都只能做這件事的一步都只能做這件事的一步, , 不能獨立不能獨立完成這件事完成這件事, , 只有各個步驟都完成才算完成這件事情只有各個步驟都完成才算完成這件事情! !課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：