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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理
綜合檢測
時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知a，b，c，d∈R，且ab>0，－<－，則下列各式恒成立的是( )
A．bcad
C.> D．<
解析：－<－，ab>0兩邊同乘以ab，－bc<－ad，
∴bc>ad，選B.
答案：B
2．不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2} B．
C. D．
解析：由|3x－2|
2、>4，得3x－2>4或3x－2<－4.
即x>2或x<－.
答案：C
3．某人要買房，隨著樓層的升高，上、下樓耗費(fèi)的體力增多，因此不滿意度升高，設(shè)住第n層樓，上下樓造成的不滿意度為n；但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨樓層升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)住第n層樓時(shí)，環(huán)境不滿意程度為，則此人應(yīng)選( )
A．1樓 B．2樓
C．3樓 D．4樓
解析：設(shè)第n層總的不滿意程度為f(n)，則f(n)＝n＋≥2＝2×3＝6，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝3時(shí)取等號(hào)．
答案：C
4．設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1
3、，S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，那么( )
A．S1>S2 B．S1
4、x＋1|＋|2x－4|>6的解集為( )
A．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：原不等式可化為以下幾種：
①?x<－1；
②??；
③?x>3.
故選B.
答案：B
7．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，則k的取值范圍是( )
A．k<3 B．k<－3
C．k≤3 D．k≤－3
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
則f(x)min＝－3，∴k<－3.
答案：B
8．函數(shù)y＝＋的最大值為( )
A. B．
C. D．
解析：由
5、已知得函數(shù)定義域?yàn)閇，2]，
y＝＋×≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時(shí)取等號(hào)．
∴ymax＝.
答案：A
9．設(shè)A＝，B＝＋，則A與B的關(guān)系為( )
A．A>B B．A＋＝＝A.
答案：B
10．若0<α<β<γ<，則F＝sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α－(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)的符號(hào)為( )
A．F>0 B．F<0
C．F≥0 D．F≤0
解析：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在(0，)上為增函數(shù)，y＝cos x在(0，)上為減函數(shù)．
∴0
6、 βcos β>cos γ>0.
根據(jù)排序不等式：亂序和≥反序和，
則sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
答案：A
11．已知a2＋b2＋c2＝9，x2＋y2＋z2＝16，則
的最大值為( )
A．5 B．7
C．9 D．5
解析：
＝
＝，
∵ax＋by＋cz＝
≤＝＝12，
∴原式≤＝＝7，
故最大值為7，選B.
答案：B
12．記滿足下列條件的函數(shù)f(x)的集合為M，當(dāng)|
7、x1|≤1，|x2|≤1時(shí)，|
f(x1)－f(x2)|≤4|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，由g(x)與M的關(guān)系是( )
A．g(x)M B．g(x)∈M
C．g(x)?M D．不能確定
解析：g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)·(x1＋x2＋2)，
|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤4|x1－x2|，所以g(x)∈M.
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則·的最小值為___
8、_____．
解析：＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝時(shí)等號(hào)成立．
答案：9
14．關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析：∵|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1且|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集為空集，
∴a2＋a＋1<1，∴a2＋a<0.
∴－1
9、.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時(shí)取等號(hào)，
∴長方體的對(duì)角線長l＝的最小值為1.
答案：1
16．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________．
解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，當(dāng)a＝2b＝3c＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值為12.
答案：12
三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. (12分)解不等式|2x－1|＋|2－x|
10、)當(dāng)－3≤x≤時(shí)，原不等式為1－2x＋2－x2時(shí)，原不等式為2x－1＋x－22，b>3，求a＋b＋的最小值．
解析：因?yàn)閍>2，b>3，所以a－2>0，b－3>0，所以a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝3＋5＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，等號(hào)成立)．
所以所求最小值為8.
19．(12分)已知實(shí)數(shù)x，y
11、，z滿足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．
解析：由柯西不等式，(x＋y＋z)2≤[(x)2＋(y)2＋z2]·，因?yàn)閤＋y＋z＝2，所以2x2＋3y2＋z2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝，y＝，z＝時(shí)，等號(hào)成立，所以2x2＋3y2＋z2的最小值為.
20．(12分)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：
2(＋＋)≥＋＋.
證明：由對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c＞0.
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，
≥≥.
由排序原理知：
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
將上面兩個(gè)同向不等式相加，得
2≥＋＋.
21．(13分)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝1，b1＋b2＋
12、b3＋…＋b10＝100.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝1＋，記Tn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積，
即Tn＝a1a2a3…an，試證明：Tn>.
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，
則，得d＝2，
bn＝2n－1.
(2)an＝1＋＝1＋，
Tn＝a1a2a3…an＝…，
當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝1＋＝2>，命題得證．
假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)命題成立，即…>成立，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
Tn＋1＝…
>＝.
∵×<＝2k＋2，
∴>，
∴Tn＋1＝…
>.
即n＝k＋1時(shí)命題成立．
綜上知，當(dāng)n∈N＋時(shí)，Tn>
13、.
22．(13分)某人在一山坡P處觀看對(duì)面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，圖中所示的山坡可視為直線l，且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tan α＝，試問，此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大(不計(jì)此人的身高)?
解析：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A(200,0)，B(0,220)，C(0,300)．直線l的方程為y＝(x－200)tan α，即y＝.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則P(x>200)，由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得
kPC＝＝.
kPB＝＝.
由直線PC到直線PB的夾角的公式得(由圖可知kPC，kPB均小于0，即x<640)
tan∠BPC＝＝
＝＝(x>200)．
要使tan∠BPC達(dá)到最大，只需x＋－288達(dá)到最小，由基本不等式x＋－288≥2－288.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)上式取得等號(hào)，故當(dāng)x＝320時(shí)，tan∠BPC最大，這時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為＝60.
由實(shí)際問題知，0<∠BPC<，所以tan∠BPC最大時(shí)∠BPC最大．故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大．
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