精修版數(shù)學(xué)人教A版選修45優(yōu)化練習(xí)：第四講 達(dá)標(biāo)檢測(cè) Word版含解析

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 達(dá)標(biāo)檢測(cè)　 時(shí)間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意x＞0和正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”時(shí)，需要驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為(　　) A．n0＝1　　　　　　　　 B．n0＝2 C．n0＝1,2 D．以上答案均不正確 解析：當(dāng)n0＝1時(shí)，x＋≥2成立，故選A. 答案：A 2．從一樓到二樓的樓梯共有n級(jí)臺(tái)階，每步只能跨上1級(jí)或

2、2級(jí)，走完這n級(jí)臺(tái)階共有f(n)種走法，則下面的猜想正確的是(　　) A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2) C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D． f(n)＝f(n－1) f(n－2)(n≥3) 解析：分別取n＝1,2,3,4驗(yàn)證，得f(n)＝ 答案：A 3．設(shè)凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形的對(duì)角形的條數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：凸n＋1邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的

3、對(duì)角線的條數(shù)(n－2)條，再加上原來(lái)有一邊成為對(duì)角線，共有f(n)＋n－1條對(duì)角線，故選C. 答案：C 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，n∈N＋能被9整除”，利用歸納假設(shè)證n＝k＋1，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：n＝k時(shí)，式子為k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3， n＝k＋1時(shí)，式子為(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3， 故只需展開(k＋3)3. 答案：A 5．下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．若一個(gè)命題當(dāng)n＝1,2時(shí)為真，則此命題為真命題 B．若一個(gè)命題當(dāng)n＝

4、k時(shí)成立且推得n＝k＋1時(shí)也成立，則這個(gè)命題為真命題 C．若一個(gè)命題當(dāng)n＝1,2時(shí)為真，則當(dāng)n＝3時(shí)這個(gè)命題也為真 D．若一個(gè)命題當(dāng)n＝1時(shí)為真，n＝k時(shí)為真能推得n＝k＋1時(shí)亦為真，則此命題為真命題 解析：由完全歸納法可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1時(shí)也成立時(shí)，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可．A，B，C項(xiàng)均不全面． 答案：D 6．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　) A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k) 解析：第k＋1條直線與前k條直線都相交且有不

5、同交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)． 答案：B 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除時(shí)，若n＝k時(shí)，命題成立，欲證當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34×34k＋1＋52×52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 解析：由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1 ＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)． 答案：A 8

6、．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A. B． C. D． 解析：由a2＝S2－S1＝4a2－1得a2＝＝ 由a3＝S3－S2＝9a3－4a2得a3＝a2＝＝. 由a4＝S4－S3＝16a4－9a3得a4＝a3＝＝，猜想an＝. 答案：B 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)時(shí)，從k到k＋1，左邊需要增加的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D． 解析：當(dāng)n＝k時(shí)左邊的最后一項(xiàng)是2k，n＝k＋1時(shí)左邊的最后一項(xiàng)是

7、2k＋2， 而左邊各項(xiàng)都是連續(xù)的，所以n＝k＋1時(shí)比n＝k時(shí)左邊少了(k＋1)，而多了 (2k＋1)·(2k＋2)．因此增加的代數(shù)式是＝2(2k＋1)． 答案：B 10．把正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排序，則從2 018到2 020的箭頭方向依次為(　　) A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑ 解析：由2 018＝4×504＋2，而an＝4n是每一個(gè)下邊不封閉的正方形左上頂點(diǎn)的數(shù)，故應(yīng)選D. 答案：D 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng) 在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2

8、)＋…＋(k＋1)2 解析：∵當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故應(yīng)選D. 答案：D 12．若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)為(　　) A．2f(k) B．f(k)＋k－1 C．f(k)＋k D．f(k)＋2 解析：如圖所示是k＋1棱柱的一個(gè)橫截面，顯然從k棱柱到k＋1棱柱，增加了從Ak＋1發(fā)出的對(duì)角線k－2條，即相應(yīng)對(duì)角面k－2個(gè)，以及A1Ak棱變?yōu)閷?duì)角線(變?yōu)橄?/p>

9、應(yīng)的對(duì)角面)．故 f(k＋1)＝f(k)＋(k－2)＋1＝f(k)＋k－1. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋＝2時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證n＝________時(shí)等式成立． 解析：∵n＝k為偶數(shù)，∴下一個(gè)偶數(shù)為n＝k＋2. 答案：k＋2 14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為________，猜想Sn＝________. 解析：S1＝1,2Sn＋1＝Sn＋2S1. 當(dāng)n＝

10、1時(shí)，2S2＝S1＋2＝3，S2＝； 當(dāng)n＝2時(shí)，2S3＝S2＋2，S3＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，2S4＝S3＋2，S4＝. 猜想Sn＝. 答案：、、　 15．設(shè)f(n)＝…，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)≥3.在“假設(shè)n＝k時(shí)成立”后，f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是f(k＋1)＝f(k)·________. 解析：當(dāng)n＝k時(shí)， f(k)＝…； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1) ＝…， 所以應(yīng)乘·. 答案：· 16. 有以下四個(gè)命題： (1)2n>2n＋1(n≥3)． (2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)． (3)凸n邊形內(nèi)角和為f(n)＝(n－1)π(n≥3)．

11、(4)凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n)＝(n≥4)． 其中滿足“假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．”但不滿足“當(dāng)n＝n0(n0是題中給定的n的初始值)時(shí)命題成立”的命題序號(hào)是________． 解析：當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)經(jīng)驗(yàn)證(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合題意，對(duì)于(4)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題不成立．所以(2)(3)正確． 答案：(2)(3) 三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1

12、能被133整除． 證明：(1)當(dāng)n＝0時(shí)，A0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1 ＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1. ＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1. ∴n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 根據(jù)(1)(2)，對(duì)于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 18．(12分)設(shè){xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N＋)定義的數(shù)列，求證：xn<＋. 證明：(1)當(dāng)n＝1

13、時(shí)，x1＝2<＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即xk<＋，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk＋1＝＋. 由歸納假設(shè)，xk<＋，則<＋， >.∵xk>，∴<. ∴xk＋1＝＋<＋＋＝＋≤＋. 即xk＋1<＋. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式xn<＋成立． 綜上，得xn<＋(n∈N＋)． 19．(12分)證明：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝ －n(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝tan α·tan 2α， 右邊＝－2＝·－2 ＝－2 ＝＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等

14、式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)和(2)知，當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)等式恒成立． 20．(12分)數(shù)列{a

15、n}滿足Sn＝2n－an(n∈N＋)． (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． 解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝. 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， ∴a4＝. 由此猜想an＝(n∈N＋)． (2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，結(jié)論成立． 假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝， 那么n＝k＋1(k≥1且k∈N＋)時(shí)， ak＋1＝Sk＋

16、1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1. ∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝. 這表明n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立， 所以an＝(n∈N＋)． 21．(13分)在平面內(nèi)有n條直線，每?jī)蓷l直線都相交，任何三條直線不共點(diǎn)，求證：這n條直線分平面為個(gè)部分． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線把平面分成兩部分，而f(1)＝＝2，所以命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立，即k條直線把平面分成f(k)＝個(gè)部分． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，即增加一條直線l，因?yàn)槿魏蝺蓷l直線都相交，所以l與k條直線都相交，有k個(gè)交點(diǎn)；又因?yàn)槿魏稳龡l直線不共點(diǎn)，所以這k個(gè)交點(diǎn)不同于k

17、條直線的交點(diǎn)，且k個(gè)交點(diǎn)也互不相同，如此k個(gè)交點(diǎn)把直線l分成k＋1段，每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分，故新增加了k＋1個(gè)平面部分． 所以f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由(1)(2)可知當(dāng)n∈N＋時(shí)，命題成立， 即平面上通過(guò)同一點(diǎn)的n條直線分平面為個(gè)部分． 22．(13分)設(shè)x1>0，x1≠1，且xn＋1＝，n∈N＋.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果00. 由(1)、(2)知n∈N＋時(shí)命題都成立． xn－xn＋1＝xn－ ＝ ＝<0，于是xn