廣東省中考數(shù)學(xué) 第二部分 題型研究 題型三 規(guī)律探索題課件

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1、題型三題型三 規(guī)律探索題規(guī)律探索題 典例精講類型一類型一 數(shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律例例1（2015省卷省卷15，4分分）觀察下列一組數(shù)：）觀察下列一組數(shù)： ， ， ， ， ，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第，根據(jù)該組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個數(shù)是個數(shù)是_.13253749511【思維教練【思維教練】觀察式子，分子為連續(xù)的正整數(shù)，且分子與分?jǐn)?shù)觀察式子，分子為連續(xù)的正整數(shù)，且分子與分?jǐn)?shù)序號相同，分母為從序號相同，分母為從3開始的連續(xù)的奇數(shù)，且分母比分子的開始的連續(xù)的奇數(shù)，且分母比分子的2倍倍多多1，由此可推出第，由此可推出第10個數(shù)個數(shù).【解析【解析】觀察各個分?jǐn)?shù)，不難發(fā)現(xiàn)：分子與分?jǐn)?shù)序號相同，分母觀察各

2、個分?jǐn)?shù)，不難發(fā)現(xiàn)：分子與分?jǐn)?shù)序號相同，分母比序號的比序號的2倍多倍多1，所以第，所以第10個數(shù)為個數(shù)為 .1010=210+1211021例例2（2016恩施州恩施州）觀察下列等式：）觀察下列等式：1+2+3+4+n= n(n+1)；1+3+6+10+ n（n+1）= n(n+1)(n+2)；1+4+10+20+ n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)； 則有：則有：1+5+15+35+ n(n+1)(n+2)(n+3)=_.12121616124124【思維教練【思維教練】觀察等式右邊存在一組有規(guī)律的因式：觀察等式右邊存在一組有規(guī)律的因式： n(n+1)，n(n+1)(n

3、+2)，n(n+1)(n+2)(n+3)，因式項依次多加一項；，因式項依次多加一項；其系數(shù)的規(guī)律是第其系數(shù)的規(guī)律是第n個等式的系數(shù)是上一個等式的系數(shù)乘個等式的系數(shù)是上一個等式的系數(shù)乘 ，由此可推出所求式子結(jié)果由此可推出所求式子結(jié)果.11n【解析【解析】觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個等式的右邊系數(shù)觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個等式的右邊系數(shù)為為 =1 ，因式為，因式為n(n+1)；第二個等式的右邊系數(shù)為；第二個等式的右邊系數(shù)為 = ，因式為，因式為n(n+1)(n+2)；第三個等式的右邊系數(shù)；第三個等式的右邊系數(shù)為為 = ，因式為，因式為n(n+1)(n+2)(n+3)，所以第四個等，所以第四個等式

4、的右邊系數(shù)為式的右邊系數(shù)為 = ，因式為，因式為n(n+1)(n+2) (n+3)(n+4)，結(jié)果為，結(jié)果為 .1216161241241212131415112011234120n nnnn11234120n nnnn【答案答案】滿滿 分分 技技 法法數(shù)式規(guī)律探索主要有以下數(shù)式規(guī)律探索主要有以下3類：類：1.數(shù)字規(guī)律探索：數(shù)字規(guī)律探索：（1）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時，先觀察這組數(shù)字是自然）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)數(shù)列經(jīng)過數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)數(shù)列經(jīng)過平方、平方加平方、平方加1或減或減1等運算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)等

5、運算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號，判斷數(shù)字符號的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)字的符號，判斷數(shù)字符號的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號，如果是交替出現(xiàn)的可用一種符號，如果是交替出現(xiàn)的可用(-1)n或或(-1)n-1表示數(shù)字表示數(shù)字的符號，最后把數(shù)字規(guī)律和符號規(guī)律結(jié)合起來從而得到的符號，最后把數(shù)字規(guī)律和符號規(guī)律結(jié)合起來從而得到結(jié)果；結(jié)果；（2）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時候，先把這組數(shù)據(jù)）當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時候，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù)字規(guī)律（其方法同（字規(guī)律（其方法同（1），從而得出分子和分母的規(guī)），從而得出

6、分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第律，最后得到該組第n項的規(guī)律項的規(guī)律.2.數(shù)陣規(guī)律探索：數(shù)陣規(guī)律探索：此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對是對應(yīng)的，設(shè)問方式有已此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對是對應(yīng)的，設(shè)問方式有已知有序數(shù)對求數(shù)值和表示某個數(shù)值的有序數(shù)對，本質(zhì)上知有序數(shù)對求數(shù)值和表示某個數(shù)值的有序數(shù)對，本質(zhì)上講，這兩種方式是相同的講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：此類型題的解決方法有：（1）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式：每行的個數(shù)；每行的個數(shù)；每列的個數(shù)；每列的個數(shù)；相鄰數(shù)據(jù)的變化特點，并且觀察是否某相鄰數(shù)據(jù)的變化特點，并且觀察是否某一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如

7、完全平方一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)（如完全平方數(shù)，正整數(shù)）等；數(shù)，正整數(shù)）等；（2）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的關(guān)系；關(guān)系；（3）使用）使用中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)（中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)（2）中的性質(zhì)定位，求得答案中的性質(zhì)定位，求得答案.3.等式規(guī)律探索：等式規(guī)律探索：第一步：標(biāo)序數(shù)；第一步：標(biāo)序數(shù)；第二步：對比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與第二步：對比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)（序數(shù)（1，2，3，4，n）之間的關(guān)系，把其蘊含的規(guī)）之間的關(guān)系，把其蘊含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來律用含序

8、數(shù)的式子表示出來.通常方法是將式子進行拆分，通常方法是將式子進行拆分，觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系；觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第第三步：根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個等式，并進行檢驗個等式，并進行檢驗.類型二類型二 圖形規(guī)律圖形規(guī)律一、圖形累加規(guī)律探索一、圖形累加規(guī)律探索 典例精講例例3（2016山西山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依長相同的小正方形組成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第此規(guī)律，第n個圖案中有個圖案中有 個涂有陰影的小正方

9、形（用個涂有陰影的小正方形（用含有含有n的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）.例例3題圖題圖【思維教練【思維教練】觀察圖形，易知后一個圖案比前一個圖案多觀察圖形，易知后一個圖案比前一個圖案多4個涂有陰影的小正方形，依此規(guī)律即可求出第個涂有陰影的小正方形，依此規(guī)律即可求出第n個圖案中個圖案中涂有陰影的小正方形的個數(shù)涂有陰影的小正方形的個數(shù).【解析【解析】4n+1序數(shù)序數(shù)123n涂陰影的小涂陰影的小正方形個數(shù)正方形個數(shù)5913圖形之間的圖形之間的變化規(guī)律變化規(guī)律55+415+425+4（n-1）4n+1【答案答案】滿滿 分分 技技 法法解答圖形累加規(guī)律探索的方法：解答圖形累加規(guī)律探索的方法：第一步第一步,

10、寫序號：記每組圖形的序數(shù)為寫序號：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”第二步第二步,數(shù)圖形個數(shù)：在圖形數(shù)量變化時，要記出每組圖數(shù)圖形個數(shù)：在圖形數(shù)量變化時，要記出每組圖形的表示個數(shù)；形的表示個數(shù)；第三步第三步,尋找圖形數(shù)量與序數(shù)尋找圖形數(shù)量與序數(shù)n的關(guān)系：針對尋找第的關(guān)系：針對尋找第n個圖個圖形表示的數(shù)量時，先將后一個圖形的表示個數(shù)與前一個圖形表示的數(shù)量時，先將后一個圖形的表示個數(shù)與前一個圖形的個數(shù)進行比對，通常作差來觀察是否有恒定量的變化，形的個數(shù)進行比對，通常作差來觀察是否有恒定量的變化，然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個圖形的個數(shù)；然后按照定量變化推導(dǎo)出具體某個圖形的個數(shù)；第四步第四步,驗證

11、：代入序號驗證所歸納的式子是否正確驗證：代入序號驗證所歸納的式子是否正確.二、圖形成倍遞變規(guī)律探索二、圖形成倍遞變規(guī)律探索 典例精講例例4（2011省卷省卷10，4分分）如圖）如圖，將一個正六邊形各邊，將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為，它的面積為1，取取ABC和和DEF各邊中點，連接成正六角星形各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖，如圖中陰影部分；取中陰影部分；取A1B1C1和和D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖如圖中陰影部分；如此下去中陰影部分；如此下去，

12、則正六角星形，則正六角星形AnFnBnDnCnEn的面積為的面積為_.例例4題圖題圖【思維教練【思維教練】要得到第要得到第n個正六角星形的面積，通過觀個正六角星形的面積，通過觀察前一個正六角星形與后一個正六角星形之間的面積關(guān)察前一個正六角星形與后一個正六角星形之間的面積關(guān)系，由于前后兩個正六角星形相似，可根據(jù)相似圖形面系，由于前后兩個正六角星形相似，可根據(jù)相似圖形面積之比等于相似比的平方得到面積關(guān)系，找出規(guī)律即可積之比等于相似比的平方得到面積關(guān)系，找出規(guī)律即可.【解析【解析】很容易知道正六角星形很容易知道正六角星形A1F1B1D1C1E1與正六角星與正六角星形形AFBDCE相似，且相似比是相似

13、，且相似比是1 2，所以它們的面積比為，所以它們的面積比為1 4，同理，正六角星形，同理，正六角星形A2F2B2D2C2E2與正六角星形與正六角星形A1F1B1D1C1E1也相似，且相似比是也相似，且相似比是1 2，所以它們的面積，所以它們的面積比為比為1 4，由這些規(guī)律得正六角星形，由這些規(guī)律得正六角星形AnFnBnDnCnEn的面積的面積為為1( )n= .1414n【答案答案】14n滿滿 分分 技技 法法圖形成倍遞變規(guī)律探索的常考類型有：圖形成倍遞變規(guī)律探索的?？碱愋陀校?.點坐標(biāo)成倍遞變：點坐標(biāo)成倍遞變：（1）根據(jù)圖形的變換規(guī)律分別求出第）根據(jù)圖形的變換規(guī)律分別求出第1個點，第個點，第

14、2個點，個點，第第3個點，第個點，第4個點的坐標(biāo)，歸納出后一個點的坐標(biāo)與前個點的坐標(biāo)，歸納出后一個點的坐標(biāo)與前一個點的坐標(biāo)之間存在的倍分關(guān)系；一個點的坐標(biāo)之間存在的倍分關(guān)系；（2）根據(jù)（）根據(jù)（1）中得到的倍分關(guān)系，得到第）中得到的倍分關(guān)系，得到第M個點坐標(biāo)個點坐標(biāo).2.線段（面積）成倍遞變線段（面積）成倍遞變:已知一個幾何圖形的邊長（面積），通過遞推確定第已知一個幾何圖形的邊長（面積），通過遞推確定第M次變換后的圖形的邊長（面積）次變換后的圖形的邊長（面積）.（1）根據(jù)題意可得出第一次變換前的邊長（面積）根據(jù)題意可得出第一次變換前的邊長（面積）為為b；（2）通過計算得到第一次變換后的邊長（面

15、積），）通過計算得到第一次變換后的邊長（面積），第二次變換后的邊長（面積），第三次變換后的邊長第二次變換后的邊長（面積），第三次變換后的邊長（面積），第四次變換后的邊長（面積），歸納出后（面積），第四次變換后的邊長（面積），歸納出后一個邊長（面積）與前一個邊長（面積）之間存在的一個邊長（面積）與前一個邊長（面積）之間存在的倍分關(guān)系是倍分關(guān)系是n；（3）第）第M次變換后，求得線段的長度（面積）為次變換后，求得線段的長度（面積）為nMb.三、圖形循環(huán)規(guī)律探索三、圖形循環(huán)規(guī)律探索 典例精講例例5如圖，彈性小球從點如圖，彈性小球從點P（0，3）出）出發(fā)，沿所示方向運動，每當(dāng)小球碰到發(fā)，沿所示方向運動，

16、每當(dāng)小球碰到矩形矩形OABC的邊時反彈，反彈時反射的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)小球第角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩次碰到矩形的邊時的點為形的邊時的點為P1，第，第2次碰到矩形次碰到矩形的邊時的點為的邊時的點為P2，第，第n次碰到矩形的邊時的點為次碰到矩形的邊時的點為Pn，則點則點P3的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_，點，點P2016的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_.例例5題圖題圖【思維教練【思維教練】要確定點要確定點P3的坐標(biāo)，可根據(jù)入射角與反射的坐標(biāo)，可根據(jù)入射角與反射角的定義作出圖形，依次確定角的定義作出圖形，依次確定P1,P2，進而得到，進而得到P3的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，繼續(xù)作圖，可知每繼續(xù)作圖，可知每6次反

17、彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，根據(jù)次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，根據(jù)循環(huán)規(guī)律即可確定循環(huán)規(guī)律即可確定P2016的坐標(biāo)的坐標(biāo).【解析【解析】如解圖，經(jīng)過如解圖，經(jīng)過6次反彈后小球回到出發(fā)點次反彈后小球回到出發(fā)點P（0，3），當(dāng)點），當(dāng)點P第第3次碰到矩形的邊時，點次碰到矩形的邊時，點P3的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（8，3），），20166336，當(dāng)點當(dāng)點P第第2016次碰到矩形的邊次碰到矩形的邊時為第時為第336個循環(huán)組的第個循環(huán)組的第6次反彈，此時，點次反彈，此時，點P2016的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（為（0，3）.例例5題解圖題解圖（8，3），（），（0，3）【答案答案】滿滿 分分 技技 法法圖形循環(huán)規(guī)律探索主要考查

18、類型有圖形循環(huán)規(guī)律探索主要考查類型有3種：種：1.點坐標(biāo)變換在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化，求第點坐標(biāo)變換在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化，求第M個點的坐標(biāo)；個點的坐標(biāo)；2.圖形循環(huán)變換類，求經(jīng)過圖形循環(huán)變換類，求經(jīng)過M次變換后對應(yīng)的點坐標(biāo)或次變換后對應(yīng)的點坐標(biāo)或圖形；圖形；3.幾何圖形循環(huán)旋轉(zhuǎn)變換，通過幾何圖形循環(huán)旋轉(zhuǎn)變換，通過M次變換后，求起始點次變換后，求起始點到終點的線段長到終點的線段長.對于此類問題，一般解題思路為：對于此類問題，一般解題思路為：先觀察點坐標(biāo)（圖形）變化的規(guī)律是順時針（逆時先觀察點坐標(biāo)（圖形）變化的規(guī)律是順時針（逆時針）循環(huán)交替出現(xiàn)，找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為針）循環(huán)交替出現(xiàn)，找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為n；用用Mn=Wq（0qn)，則第，則第M次變換后的點次變換后的點坐標(biāo)（圖形）就是一個循環(huán)變換中第坐標(biāo)（圖形）就是一個循環(huán)變換中第q次變化對應(yīng)的次變化對應(yīng)的點坐標(biāo)（圖形），或存在一定的倍分關(guān)系；點坐標(biāo)（圖形），或存在一定的倍分關(guān)系；根據(jù)題意找出第根據(jù)題意找出第q次變換后對應(yīng)的點坐標(biāo)（圖形），次變換后對應(yīng)的點坐標(biāo)（圖形），即可推斷出第即可推斷出第M個（次）變換后對應(yīng)的點坐標(biāo)（圖個（次）變換后對應(yīng)的點坐標(biāo)（圖形）形）.