數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試：第二部分 專題四 滿分示范課——概率與統(tǒng)計(jì) Word版含解析

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1、 滿分示范課——概率與統(tǒng)計(jì) 概率與統(tǒng)計(jì)問題需要從數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，通過數(shù)據(jù)的篩選、分析構(gòu)建相關(guān)模型特別是從圖表、直方圖、莖葉圖中獲取信息，利用圖表信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析． 解題的關(guān)鍵重在“辨”——辨型、辨析、求解要抓住幾點(diǎn)： (1)準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨(dú)立等； (2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等； (3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等； (4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計(jì)算公式和性質(zhì)來計(jì)算事件的概率； (5)確定隨機(jī)變量

2、取值并求其對應(yīng)的概率，寫出分布列后再求期望、方差． (6)會套用求、K2的公式，再作進(jìn)一步求值與分析． 【典例】　(滿分12分)(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0； (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作

3、為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． ①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)； ②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ [規(guī)范解答]　(1)由題意知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Cp2(1－p)18. 因此f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1. 當(dāng)p∈(0，0.1)時，f′(p)＞0，f(p)單調(diào)遞增； 當(dāng)p∈(0

4、.1，1)時，f′(p)＜0，f(p)單調(diào)遞減． 所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)， X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y. 所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490. ②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元． 由于E(X)＞400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． 高考狀元滿分心得 1．寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點(diǎn)步驟一定要寫全．如第(1)

5、問求出概率f(p)，判斷f′(p)的符號．第(2)問中明確X＝40＋25Y等． 2．寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時一定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問應(yīng)寫出f′(p)，第(2)問中寫出E(X)、E(Y)的值，得出結(jié)論“應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)”得2分，否則不得分． 3．正確計(jì)算是滿分的關(guān)鍵：如第(1)問正確求導(dǎo)，計(jì)算p0＝0.1，如第(2)問對數(shù)學(xué)期望E(X)＝490，否則不得分． [解題程序]　第一步：提煉信息，由相互獨(dú)立事件概率求f(p)． 第二步：利用導(dǎo)數(shù)，求出f(p)的最大值點(diǎn)p0. 第三步：確定隨機(jī)變量X與Y的關(guān)系，計(jì)算E(X)的值．

6、第四步：根據(jù)數(shù)據(jù)信息，作出決策判斷． 第五步：檢驗(yàn)反思，規(guī)范解題步驟． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(2019·六安一中模擬)國際奧委會于2017年9月15日在秘魯利馬召開130次會議決定2024年第33屆奧運(yùn)會舉辦地，目前德國漢堡、美國波士頓等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費(fèi)用超支而相繼退出．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國公民對申辦奧運(yùn)會的態(tài)度，選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： 分類 支持 不支持 總計(jì) 年齡不大于50歲 80 年齡大于50歲 10 總計(jì) 70 100 (1)根據(jù)已有數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整； (2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年

7、齡與支持申辦奧運(yùn)有關(guān)？ (3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性，其中2位是女教師，現(xiàn)從這5名女性中隨機(jī)抽取3人，求女教師人數(shù)的分布列與期望． 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2＞k) 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 解：(1) 分類 支持 不支持 總計(jì) 年齡不大于50歲 20 60 80 年齡大于50歲 10 10 20 總計(jì) 30 70 100 (2)K2＝＝ ≈4.762＞3.841， 所以能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同

8、年齡與支持申辦奧運(yùn)有關(guān)． (3)設(shè)選出女教師人數(shù)為X， 則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝. 隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2. 2．(2019·北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付之方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 　支付金額/元 支付

9、方式　　　　 (0，1 000] (1 000，2 000] 大于2 000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 (1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率； (2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？

10、說明理由． 解：(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30(人)，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人， 故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40(人)． 所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為＝0.4. (2)X的所有可能值為0，1，2. 記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1 000元”． 由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且P(C

11、)＝＝0.4， P(D)＝＝0.6， 所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24， P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52. P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”． 假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化． 則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝＝. 答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下： P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化． 答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下： 事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化．