2017學(xué)年 江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

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1、 2017屆 江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 考試用時：120分 全卷滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.設(shè)集合，，則（ ） A. B. C. D. 3. 已知變量呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，則變量是（ ） A．線性正相關(guān)關(guān)系

2、 B．由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān)關(guān)系 C．線性負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．不存在線性相關(guān)關(guān)系 4. 若直線過三角形內(nèi)心（三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心），則“直線平分三角形周長”是“直線平分三角形面積”的（ ） 條件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5. 如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入正整數(shù)和實數(shù)，，…，，輸出，，則（ ） A．+為，，…，的和 B．和分別是，，…，中最大的數(shù)和最小的數(shù) C．為，，…，的算術(shù)平均數(shù)

3、 D．和分別是，，…，中最小的數(shù)和最大的數(shù) 6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7. 若一個空間幾何體的三視圖如右圖所示，且已知該幾何體的體積為 ，則其表面積為（ ） A. B. C. D. 8. 已知實數(shù)滿足，且，則的最大值（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 9. 已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖像交于

4、 三點，則的面積是（ ） A. B. C. D. 10. 等差數(shù)列的前項和為，若公差，則（　?。? A． B． C． D． 11. 我國古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理敘述道 :“夫疊棋成立積，緣 冪勢既同，則積不容異?！币馑际牵簥A在兩個平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個 平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積 相等。其最著名之處是解決了“牟合方蓋”中的體積問題，其核心過程為：如下圖正方 體 ，

5、求圖中四分之一圓柱體和四分之一圓柱體 公共部分的體積 ，若圖中正方體的棱長為2，則（ ） （在高度 處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為 ，截得正方體所得面積為 ，截得錐體所得面積為 ， ，） A． B． C． D． 12. 設(shè)、分別為雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上關(guān)于軸對稱的不同兩點，設(shè)直線的斜率分別為，則取得最小值時，雙曲線的離心率為（ ） A. B. C.

6、D. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分. 13．二項式的展開式中第四項的系數(shù)為 ． 14．如右圖所示矩形邊長，拋物線頂點為邊的中點，且兩點在拋物線上，則從矩形內(nèi)任取一點落在拋物線與邊圍成的封閉區(qū)域（包含邊界上的點）內(nèi)的概率是 ． 15. 已知向量滿足：，且，若，其中且，則最小值是 ． 16．已知銳角中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，且滿足：，，則的取值范圍是 ． 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17. （本小題滿分12分） 數(shù)列滿足，． （1）設(shè)，證明是等差數(shù)列，

7、并求的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和． 18. （本小題滿分12分） 2016年11月20日-22日在江西省南昌市舉行了首屆南昌國際馬拉松賽事，賽后某機構(gòu)用“10分制”調(diào)查了很多人（包括普通市民，運動員，政府官員，組織者，志愿者等）對此項賽事的滿意度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)： （1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （2）若滿意度不低于9.5分，則稱該被調(diào)查者的滿意度為“極滿意”.求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極滿意”的概率； （3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整

8、個被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 19. （本小題滿分12分） 如圖，在棱臺中，與分別是棱長為1與2的正三角形，平面 平面，四邊形為直角梯形，，點為的重 心，為中點，， （1）當(dāng)時，求證：//平面； （2）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的左右焦點分別為，過點作直線交橢圓于 兩點，若且 （1）求橢圓的方程； （2）已知圓為原點，圓與橢圓交于兩點，點為橢圓上一動點，若直線與軸分別交于點求證：為常數(shù).

9、 21.（本小題滿分12分） 若總有則稱為與在上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”. （1）求證：是和在上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”； （2）函數(shù)，若存在最大整數(shù)使得在恒成立，求的值.（…是自然對數(shù)的底數(shù)，） 請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號. 22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. （Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)點的極坐標(biāo)為（），過點的直線與曲線相交于兩點，若，求的弦長． 23.（本小題滿分10分

10、）選修4-5：不等式選講 選修4-5：不等式選講 設(shè)，（） （1）求證：； （2）若不等式對任意非零實數(shù)恒成立，求的取值范圍. 江西省重點中學(xué)協(xié)作體2017屆高三第一次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案 一、選擇題 1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD 12.詳解：解析：設(shè)點則，所以，即，又，即，所以，則，令則，考查函數(shù)，由，知時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得唯一極小值即為最小值，此時，所以 二、填空題 13. 14. 15. 16. 16.詳解：由得，則，所以

11、 ，可化為， 則，又為銳角三角形，所以，又，所以，則，所以，解得 三、解答題 17.解：（1）由，得，即，所以為等差數(shù)列，且···································5(分) （2）因為，·······························8(分) 所以， 則·······12(分) 18.解：（1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75 ·······································2(分) （2）由莖葉圖可知，滿意度為“極滿意”的人

12、有4人。 設(shè)表示所取3人中有個人是“極滿意”，至多有1人是“極滿意”記為事件， ································6(分) （3）從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極滿意”的人的概率為，故依題意可知，從該顧客群體中任選1人，抽到“極滿意”的人的概率.的可能取值為0，1，2，3；； ； ·······························9(分) 所以的分布列為

13、 . 另解：由題可知， 所以=.·····················12(分) 19.解：（Ⅰ）連延長交于， 因為點為的重心，所以 又，所以，所以//；···················3(分) 為中點，為中點, //,又//， 所以//，得四點共面 //平面··································6(分) （Ⅱ）平面平面，平面，連接易得， 以為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，設(shè)， ， ， 因為與所成

14、角為，所以， 得，，，··············8(分) 設(shè)平面的法向量，則，取， 平面的法向量，所以二面角的余弦值····················12(分) 20.解：(1)設(shè)，則，，，． 則有，解得．·······················3(分) ，，，， ，． 于是，在△中，， 所以，所以，橢圓的方程為.········6(分) (2)由條件可知、兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)，，則， ，，所以，． 直線的方程為，······················9(分) 令得點的橫坐標(biāo)，同理可得點的橫坐標(biāo).于是 ， 所以，為常數(shù)．············

15、········12(分) 21.解：（1）證明：令， ． 當(dāng)時，，故在區(qū)間上為減函數(shù)， 因此，故．···················2(分) 再令，當(dāng)時，， 故在區(qū)間上為增函數(shù)．，所以，故是和在上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”···················5(分) （2） 由（1）知. 又，···················7分) 令 解得，易得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則 ···················9(分) 又在存在使得，故在上先減后增，則有，則，所以，則····················12(分) 22.解析：（1）由（為參數(shù)），得，即，所以···················5(分) （2）設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1） 曲線的直角坐標(biāo)方程是，（2）聯(lián)立方程可得，所以，且，所以，則或，所以···················10(分) 23.解析：（1） ····················4(分) （2） 即，化簡或或 解得或，即為所求····················10(分)