2018年高考數(shù)學二輪復習 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質課后強化訓練

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1、 專題三　第一講 三角函數(shù)的圖象與性質 A組 1．(2017·廣州模擬)已知sinφ＝，且φ∈(，π)，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則f()的值為 (　B　) A．－　　 B．－　　 C．　　 D． [解析]　由函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，得到其最小正周期為π，所以ω＝2，f()＝sin(2×＋φ)＝cosφ＝－＝－． 2．(2015·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為 (　D　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z

2、 D．，k∈Z [解析]　由五點作圖知，k∈Z，可得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos.令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故單調減區(qū)間為，k∈Z.故選D ． 3．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，對任意實數(shù)t都有f(＋t)＝f(－t)，且f()＝－3，則實數(shù)m的值等于 (　C　) A．－1 B．±5 C．－5或－1 D．5或1 [解析]　依題意得，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱，于是x＝時，函數(shù)f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，選C． 4．函數(shù)y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性質 (　B　) A．最

3、大值為1，圖象關于點(，0)對稱 B．最大值為，圖象關于點(，0)對稱 C．最大值為1，圖象關于直線x＝對稱 D．最大值為，圖象關于直線x＝對稱 [解析]　y＝－sinx＋cosx－sinx ＝－(sinx－cosx)＝－sin(x－)， ∴最大值為，圖象關于點(，0)對稱． 5．(2017·重慶測試)設x0為函數(shù)f(x)＝sin πx的零點，且滿足|x0|＋f(x0＋)<33，則這樣的零點有 (　C　) A．61個 B．63個 C．65個 D．67個 [解析]　依題意，由f(x0)＝sin πx0＝0，得πx0＝kπ，k∈Z，x0＝k，k∈Z.當k是奇數(shù)時，f(x0

4、＋)＝sin[π(k＋)]＝sin(kπ＋)＝－1，|x0|＋f(x0＋)＝|k|－1<33，|k|<34，滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個；當k是偶數(shù)時，f(x0＋)＝sin[π(k＋)]＝sin(kπ＋)＝1，|x0|＋f(x0＋)＝|k|＋1<33，|k|<32，滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個．綜上所述，滿足題意的零點共有34＋31＝65個． 故選C． 6．(2017·開封市高三一模)已知函數(shù)f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)的圖象關于原點對稱，其中φ∈(0，π)，則φ＝____. [解析]　本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，誘導公式． 因為f(x)＝2sin(π＋x)si

5、n(x＋＋φ)的圖象關于原點對稱，所以函數(shù)f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)為奇函數(shù)，則y＝sin(x＋＋φ)為偶函數(shù)，又φ∈(0，π)，所以φ＝． 7．如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合，那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù)．給出下列四個函數(shù)： ①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝(sinx＋cosx)； ③f(x)＝sinx; ④f(x)＝sinx＋． 其中為“互為生成”函數(shù)的是__①④__.(填序號). [解析]　首先化簡題中的四個解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(

6、x)＝sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合，單純經(jīng)過平移不能完成，必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn)，所以③f(x)＝sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù)，同理①f(x)＝sin(x＋)的圖象與②f(x)＝2sin(x＋)的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合，而④f(x)＝sinx＋的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的圖象，所以①④為“互為生成”函數(shù)． 8．已知函數(shù)f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈，且f(α)＝，求a的值． [解析]　(1)因為f(x)＝(2cos2x－1)si

7、n2x＋cos4x ＝cos2xsin2x＋cos4x ＝(sin4x＋cos4x) ＝sin(4x＋) 所以f(x)的最小正周期為，最大值為． (2)因為f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1． 因為α∈(，π)， 所以4α＋∈(，)， 所以4α＋＝，故α＝． 9．某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；

8、 (2)將y＝f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個對稱中心為(，0)，求θ的最小值． [解析]　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，數(shù)據(jù)補全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函數(shù)解析式為f(x)＝5sin(2x－)． (2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)， 則g(x)＝5sin(2x＋2θ－)． 因為函數(shù)y＝sin x圖象的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z． 令2x＋2θ－＝kπ， 解

9、得x＝＋－θ，k∈Z． 由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關于點(，0)成中心對稱， 所以令＋－θ＝， 解得θ＝－，k∈Z． 由θ>0可知，當k＝1時，θ取得最小值． B組 1．(2016·四川卷)為了得到函數(shù)y＝sin(2x－)的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x的圖象上所有的點 (　D　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度 [解析]　因為y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)]，所以只需把函數(shù)y＝sin2x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度即可，故選D． 2．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>

10、0，ω>0，|φ|<)的圖象關于直線x＝對稱，它的最小正周期為π，則函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是 (　B　) A．(，1) B．(，0) C．(，0) D．(－，0) [解析]　由題意知T＝π，∴ω＝2， 由函數(shù)圖象關于直線x＝對稱，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 又|φ|<，∴φ＝－， ∴f(x)＝Asin(2x－)， 令2x－＝kπ(k∈Z)，則x＝＋π(k∈Z)． ∴一個對稱中心為(，0)，故選B． 3．已知函數(shù)f(x)＝1＋cos2x－2sin2(x－)，其中x∈R，則下列結論中正確的是 (　D　) A．f(x)是最小正周期為π的偶

11、函數(shù) B．f(x)的一條對稱軸是x＝ C．f(x)的最大值為2 D．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移得到函數(shù)f(x)的圖象 [解析]　f(x)＝cos2x＋cos(2x－) ＝cos2x＋cos2x＋sin2x ＝sin(2x＋)，故選D． 4．(2017·張掖一模)定義運算：＝a1a4－a2a3.將函數(shù)f(x)＝(ω>0)的圖象向左平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則ω的最小值是 (　B　) A． B．1 C． D．2 [解析]　本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質． 由題意可得f(x)＝cosωx－sinωx＝2cos(ωx＋)，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移

12、個單位后得到g(x)＝2cos[ω(x＋)＋]＝2cos[ωx＋]的圖象，g(x)為偶函數(shù)，所以＝kπ，k∈Z，所以ω的最小值是1，故選B． 5．給出下列四個命題： ①f(x)＝sin(2x－)的對稱軸為x＝＋，k∈Z； ②函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx最大值為2； ③函數(shù)f(x)＝sinxcosx－1的周期為2π； ④函數(shù)f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函數(shù)． 其中正確命題的個數(shù)是 (　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z， 得x＝＋(k∈Z)，即f(x)＝sin(2x－)的對稱軸為x＝＋，k∈Z，故①正確； ②由

13、f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知， 函數(shù)的最大值為2，故②正確； ③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函數(shù)的周期為π，故③錯誤； ④函數(shù)f(x)＝sin(x＋)的圖象是由f(x)＝sinx的圖象向左平移個單位得到的，故④錯誤． 6．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的圖象的一部分如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為__f(x)＝2sin(x＋)__. [分析]　觀察圖象，由最高點與最低點確定A，由周期確定ω，由特殊點的坐標確定φ． [解析]　由圖象知A＝2，T＝8＝， 所以ω＝，得f(x)＝2sin(x＋φ)

14、． 由對應點得當x＝1時，×1＋φ＝?φ＝． 所以f(x)＝2sin(x＋)． 7．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在(，π)上單調遞減，則ω的取值范圍是__[，]__. [解析]　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)， 令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得＋≤x≤＋(k∈Z)． 由題意，函數(shù)f(x)在(，π)上單調遞減，故(，π)為函數(shù)單調遞減區(qū)間的一個子區(qū)間， 故有 解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)． 由4k＋<2k＋，解得k<． 由ω>0，可知k≥0， 因為k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范圍為[，]． 8．已知函

15、數(shù)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值和最小值． [解析]　(1)∵f(x)＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2xsin＋cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝sin(2x＋)＋1， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x＋)＋1． ∵x∈[－，]， ∴令2x＋＝得x＝， ∴f(x)在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)； 在區(qū)間[，]上是減函數(shù)， 又∵f(－)＝0，f()＝＋1，f()＝2， ∴函

16、數(shù)f(x)在區(qū)間[－，]上的最大值為＋1，最小值為0． 9．(2017·福建質檢)已知函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos 2x. (1)若tan θ＝2，求f(θ)的值； (2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象上所有的點向右平移個單位長度而得到，且g(x)在區(qū)間(0，m)內是單調函數(shù)，求實數(shù)m的最大值． [解析]　(1)因為tan θ＝2， 所以f(θ)＝sin θcos θ＋cos 2θ ＝sin θcos θ＋(2cos2θ－1) ＝sin θcos θ＋cos2θ－ ＝－ ＝－＝． (2)由已知得f(x)＝sin 2x＋cos 2x ＝sin(2x＋)． 依題意， 得g(x)＝sin[2(x－)＋]， 即g(x)＝sin(2x－)． 因為x∈(0，m)， 所以2x－∈[－，2m－]， 又因為g(x)在區(qū)間(0，m)內是單調函數(shù)， 所以2m－≤，即m≤，故實數(shù)m的最大值為． 10