2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第92講 極坐標(biāo)常見題型解法

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1、第92講 極坐標(biāo)常見題型解法【知識(shí)要點(diǎn)】一、在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)，引一條射線為叫做極軸，再選定一個(gè)長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)， ，稱、為點(diǎn)的極徑、極角，有序數(shù)對(duì)就叫做的極坐標(biāo).二、一般地，當(dāng)極角的取值范圍是時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，否則點(diǎn)與極坐標(biāo)就不是一一對(duì)應(yīng).極點(diǎn)的極坐標(biāo)是，其中極角是任意角.三、負(fù)極徑的規(guī)定：在極坐標(biāo)系中，極徑允許取負(fù)值，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于極角的終邊的反向延長線上，且，可以表示為，或 四、直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.平面內(nèi)任意一點(diǎn)的

2、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為和，則由三角函數(shù)的定義可以得到： （求點(diǎn)的直角坐標(biāo)的公式），（求點(diǎn)的極坐標(biāo)的公式）.五、球坐標(biāo)系：設(shè)是空間任意一點(diǎn)，在平面的射影為，連接，記， 與軸正向所夾的角為，在平面的射影為，軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角為，點(diǎn)的位置可以用有序數(shù)組表示，我們把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組叫做點(diǎn)的球坐標(biāo)，其中，.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系為：；六、柱坐標(biāo)系：設(shè)是空間任意一點(diǎn)，在平面的射影為，用 表示點(diǎn)在平面上的極坐標(biāo)，點(diǎn)的位置可用有序數(shù)組，表示把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組叫點(diǎn)的柱坐標(biāo)，其中，空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)與柱坐

3、標(biāo)之間的變換關(guān)系為：.【題型講評(píng)】題型一求點(diǎn)的直角坐標(biāo)解題步驟一般直接代入公式即可，代公式時(shí)注意“”與“”對(duì)應(yīng)，“”與“”對(duì)應(yīng).其中經(jīng)常用到三角恒等變換的誘導(dǎo)公式“縱變橫不變，符號(hào)看象限”.【例1】點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)為 .【點(diǎn)評(píng)】把極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)時(shí)，要求我們對(duì)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式很熟練很準(zhǔn)備，否則就有可能計(jì)算出錯(cuò).如本題中的，就要計(jì)算準(zhǔn)確.【反饋檢測(cè)1】若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)是（ ）A B C D 題型二求點(diǎn)的極坐標(biāo)解題步驟一般直接代公式解出即可.注意兩點(diǎn)：（1）極角一般??；（2）求極角時(shí)，一定要先通過點(diǎn)定出極角所在的象限位置，再通過求出極角的大小.即先定位，后定量.如果點(diǎn)

4、不在象限里面，則直接寫出它的極坐標(biāo).【例2】點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）A B C D【點(diǎn)評(píng)】這種題最容易出錯(cuò)的是極角的大小，必須向定位，后定量.本題中極角和位置相同，所以極角在第二象限，又，所以極角【反饋檢測(cè)2】點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（ ）A B C D題型三求曲線直角方程的極坐標(biāo)方程解題步驟一般先代入公式，再化簡整理即可.其中常用到輔助角公式.【例3】 把方程化為極坐標(biāo)方程.【解析】 .【點(diǎn)評(píng)】把直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程時(shí)，一般要利用輔助角公式化簡,以達(dá)到最簡的目的.【反饋檢測(cè)3】已知圓的方程為，求該圓的極坐標(biāo)方程.題型四求曲線的直角坐標(biāo)方程解題步驟一般先代公式，再化簡整理即可.【例

5、4】極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程 (為參數(shù))所表示的圖形分別為()A圓、直線 B直線、圓 C圓、圓 D直線、直線【點(diǎn)評(píng)】把極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程時(shí)，注意技巧，可以方程的兩邊同時(shí)乘以，得到，這樣便于代公式.【反饋檢測(cè)4】極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A極點(diǎn) B極軸 C一條直線 D兩條相交直線題型五求曲線的極坐標(biāo)方程解題步驟方法一：一般先把已知條件中的所有條件化成直角坐標(biāo)，求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再把求出的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.方法二：建系設(shè)點(diǎn)列式化簡.一般選第一種方法解答.【例5】 在極坐標(biāo)系中，圓過極點(diǎn)，且圓心的極坐標(biāo)是()，則圓的極坐標(biāo)方程是（ ）A B C D【點(diǎn)評(píng)】本題選擇的是第一種方法

6、，先把所有的條件化成直角坐標(biāo)，求出直角坐標(biāo)方程，再把直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo).【反饋檢測(cè)5】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程.【例6】在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（I）求圓的極坐標(biāo)方程；（II）若在直線上運(yùn)動(dòng)，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（I）QMCOXP設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則在三角形中，由余弦定理得即：整理即可得圓的極坐標(biāo)方程為：（II）設(shè),，依題意可知：代入得化簡得：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：【點(diǎn)評(píng)】本題就是選擇的方法二求的曲線的極坐標(biāo)方程.其中多涉及到解三角形的知識(shí)（正弦定理和余弦定理）.【反饋檢測(cè)

7、6】在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心半徑,求圓的極坐標(biāo)方程.題型六極坐標(biāo)和其它知識(shí)的綜合解題步驟一般先化成直角坐標(biāo)，再利用涉及的相關(guān)知識(shí)分析解答.【例7】在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長.【點(diǎn)評(píng)】（1）極坐標(biāo)可以和很多知識(shí)整合，整合最多的是解析幾何.（2）本題的第二問比較巧妙，計(jì)算線段的長度時(shí)，沒有計(jì)算兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)檫@樣的計(jì)算量比較大. 直接用兩個(gè)端點(diǎn)的極徑之差來求線段的長度，因?yàn)閮蓚€(gè)端點(diǎn)的極角相等.【反饋檢測(cè)7】在直角坐標(biāo)系中，直線（為參數(shù)， ）與圓

8、相交于點(diǎn)，以為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求直線與圓的極坐標(biāo)方程；（2）求的最大值【反饋檢測(cè)8】已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為則直線被圓所截得的弦長為 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第92講：極坐標(biāo)常見題型解法參考答案【反饋檢測(cè)1答案】【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解答】，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)是.故選.【反饋檢測(cè)2答案】C【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解答】,所以，故選C.【反饋檢測(cè)3答案】【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解答】由題得【反饋檢測(cè)4答案】【反饋檢測(cè)4詳細(xì)解析】，即或，表示的是兩條相交直線.所以選擇.【反饋檢測(cè)5答案】【反饋檢測(cè)6答案】【反饋檢測(cè)6詳細(xì)解析】方法一：設(shè)點(diǎn)，在中，由余弦定理可知，即方法二：圓的圓心為直角坐標(biāo)方程為即，將代入上式，得【反饋檢測(cè)7答案】（1）；（2）.【反饋檢測(cè)8答案】【反饋檢測(cè)8詳細(xì)解析】圓的普通方程為，直線的普通方程為 ，圓心到直線的距離，則直線被圓所截得的弦長為. 9