2019年湖南師大附中高三第二次月考試題 文科數(shù)學(xué)（解析版）

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1、湖南師大附中2019屆高三月考試卷(二) 數(shù)　學(xué)(文科) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共10頁。時量120分鐘。滿分150分。 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．設(shè)集合M＝{x－2x－3≤0}，N＝{x|2x＜2}，則M∩N＝( C ) A．[－1，3] B．(－∞，1) C．[－1，1) D．(1，3] 【解析】M＝[－1，3]，N＝(－∞，1)，，故M∩N＝[－1，1)．故選C. 2．若2

2、i2＋ai＝b＋4i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝( D ) A. －2 B．－1 C．0 D．2 【解析】由復(fù)數(shù)相等得：a＝4，b＝－2，a＋b＝2，故選D. 3．已知下面四個命題： ①“若x2－x＝0，則x＝0或x＝1”的逆否命題為“若x≠0且x≠1，則x2－x≠0” ②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要條件 ③命題p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1＜0，則非p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0 ④若p且q為假命題，則p，q均為假命題 其中真命題個數(shù)為( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由題可知，①正確，②正確，特稱

3、命題的否定為全稱命題，所以③顯然正確；若p且q為假命題，則p，q至少有一個是假命題，所以④的推斷不正確. 故選C. 4．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項的和為Sn，且<1，若a3＋a5＝10，a1·a7＝16，則S4＝( B ) A．60或 B．60 C. D．120 【解析】由等比數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，得q＝，所以a1＝32，S4＝＝60 ，故選B. 5．如圖所示，在三棱錐D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為( D ) A. B．2 C. D. 【解析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征和正視圖、俯視圖，得

4、該幾何體的側(cè)視圖是一個直角三角形，其中一條直角邊是CD，另一條直角邊為△ABC的邊AB上的中線，所以其側(cè)視圖面積為S＝×2×＝，故選答案D. 6．已知平面上不重合的四點P、A、B、C滿足＋＋＝0，且＋＋x＝0，那么實數(shù)x的值為( B ) A．2 B．－3 C．4 D．5 【解析】由題可知，根據(jù)向量的減法有，＝－，＝－，于是有(－)＋(－)＝x，故(－x－2)＋＋＝0，又因為＋＋＝0，所以－x－2＝1，即x＝－3.故選B. 7．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若

5、三角形 【解析】根據(jù)定理：＝0，所以cos B<0，那么

6、環(huán)四次后，S＝2，i＝5； 循環(huán)五次后，S＝－3，i＝6； … 依次類推，S的值呈周期性變化，周期為4. 如果i≤2 015，則循環(huán)結(jié)束S＝；如果i≤2 016，則循環(huán)結(jié)束S＝2. 因此條件判斷框中的條件是“i≤2 016”. 故選B. 9．函數(shù)f＝cos x的圖象的大致形狀是( B ) 【解析】由題意得，f＝cos x＝·cos x，所以f＝·cos(－x)＝·cos x＝－f(x)，所以函數(shù)f為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，C；令x＝1，則f＝cos 1＝cos 1<0，故選B. 10．橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F，直線x＝與x軸的交點為A，在橢圓上存在點

7、P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是( D ) A. (0，] B. (0，) C. [－1，1) D. [，1) 【解析】由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等．而|FA|＝－c＝，因為|PF|∈[a－c，a＋c]，所以∈[a－c，a＋c]． 即ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴ 又e∈(0，1)，故e∈[，1)，故答案選D. 11．在體積為的三棱錐S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若該三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積是( B ) A.π B

8、.π C.π D．12π 【解析】△ABC外接圓圓心為AC中點D，連接SD，則由平面SAC⊥平面ABC及SA＝SC，知SD⊥平面ABC，且球心O在SD上，則S△ABC×SD＝，解得SD＝2.設(shè)三棱錐S－ABC外接球半徑為R，則R＝OS＝OB，所以在Rt△ODB中，OB2＝BD2＋OD2，即R2＝()2＋(2－R)2，解得R＝，故所求球的體積為V＝πR3＝π，故選B. 12．某同學(xué)用“隨機模擬方法”計算曲線y＝ln x與直線x＝e，y＝0所圍成的曲邊三角形的面積時，用計算機分別產(chǎn)生了10個在區(qū)間[1，e]上的均勻隨機數(shù)xi和10個在區(qū)間[0，1]上的均勻隨機數(shù)yi(i∈N*，1≤i≤10

9、)，其數(shù)據(jù)如下表的前兩行. x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 ln x 0.90 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 由此可得這個曲邊三角形面積的一個近似值為( A ) A. (e－1) B. (e－1) C. (e－1) D. (e－1) 【解析】由表可知，向矩形區(qū)域內(nèi)隨機拋擲10個點，其中

10、有6個點在曲邊三角形內(nèi)，其頻率為＝. 因為矩形區(qū)域的面積為e－1，所以曲邊三角形面積的近似值為(e－1)，選A. 選擇題答題卡 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B D B A B B D B A 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分． 13．已知cos(α－)＝且α∈(，π)，則tan(α－)＝__7__． 【解析】由已知得，sin α＝，cos α＝－

11、，tan α＝－，tan(α－)＝＝＝7. 14．對于實數(shù)a和b，定義運算a*b＝則式子ln e2*的值為__9__． 【解析】因為a*b＝而ln e2＝2<＝3，所以ln e2*－＝3×(2＋1)＝9. 15．已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(4，2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2019＝__－1__． 【解析】由函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(4，2)得：4α＝2，α＝， 從而f(x)＝；∴an＝＝－， 從而S2019＝(－)＋(－)＋…＋－＝－1. 16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)

12、<0，則a的取值范圍是__[，1)__． 【解析】f(x)<0ex(2x－1)－時，g′(x)>0，因此當x＝－時，g(x)取得極小值也是最小值g(－)＝－2e－，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0，直線y＝ax－a過點(1，0)且斜率為a，故 解得≤a<1. 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分) 為增強市民的環(huán)保意識，某市政府向社會征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合

13、條件的志愿者中挑選了100名，按年齡(單位：歲)分為5組：第1組[20，25)，第2組[25，30)，第3組[30，35)，第4組[35，40)，第5組[40，45]，其頻率分布直方圖如圖所示． (Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名志愿者的平均年齡； (Ⅱ)現(xiàn)指定第3組中某3人，第4組中某2人，第5組中某1人，共6名志愿者參加某項宣傳活動．活動結(jié)束后，從這6人中隨機抽取2人介紹經(jīng)驗，求第4組中至少有一名志愿者被抽中的概率． 【解析】(Ⅰ)在頻率分布直方圖中，從左至右各小矩形的面積分別是0.05，0.35，0.3，0.2，0.1.(2分) 下底邊中點值分別是22.5，27.5，3

14、2.5，37.5，42.5.(4分) 因為22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25. 由此估計，這100名志愿者的平均年齡為32.25歲．(6分) (Ⅱ)設(shè)“第4組中至少有一名志愿者被抽中”為事件A， 記第3組的3名志愿者為A1，A2，A3， 第4組的2名志愿者為B1，B2，第5組的1名志愿者為C1.(7分) 則從6名志愿者中抽取2名志愿者的取法有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2

15、)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共有15種．(9分) 其中第4組的2名志愿者B1，B2至少有一名被抽中的取法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)共有9種．(11分) 所以P(A)＝＝，故第4組中至少有一名志愿者被抽中的概率為.(12分) 18．(本小題滿分12分) 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E、F分別為PC、BD的中點． (Ⅰ)求三棱錐F－DEC的體積

16、； (Ⅱ)在線段CD上是否存在一點G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由． 【解析】(Ⅰ)過點P作AD的垂線PH，垂足為H. 又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PH平面PAD， 側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴PH⊥平面ABCD.連接HC，(2分) ∵E為PC中點，∴三棱錐E－FDC的高h＝PH， 又PA＝PD＝AD且AD＝2，∴PH＝1，∴h＝＝，(4分) ∴三棱錐F－DCE的體積是 VF－DCE＝VE－FDC＝S△DFC·h＝××××＝.(6分) (Ⅱ)在線段CD上存在一點G為CD的中點時，使得平面EFG⊥平面PDC

17、，理由如下：(7分) ∵底面ABCD是邊長為2的正方形，∴CD⊥AD, 又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD，(9分) 又EF∥PA，∴CD⊥EF， 取CD中點G，連接FG， ∵F為AC中點，∴FG∥AD， 又CD⊥AD，∴FG⊥CD， 又FG∩EF＝F，∴CD⊥平面EFG，(11分) 又CD平面PCD， ∴平面EFG⊥平面PCD.(12分) 19．(本小題滿分12分) 已知數(shù)列滿足Sn＋bn＝，其中Sn為數(shù)列的前n項和． (Ⅰ)求證數(shù)列{bn－}是等比數(shù)例，并求數(shù)列{bn}的通項公式； (Ⅱ)

18、如果對任意n∈N*，不等式≥2n－5恒成立，求實數(shù)k的取值范圍． 【解析】(Ⅰ)證明：當n＝1時，2b1＝7，b1＝.(1分) 當n≥2時，Sn＋bn＝，① Sn－1＋bn－1＝， ② 由①－②得2bn－bn－1＝， 所以＝，(4分) 所以數(shù)列是首項為b1－＝3，公比為的等比數(shù)列， 所以bn－＝·＝3·， 即bn＝3·＋.(6分) (Ⅱ)由題意及(Ⅰ)得： Sn＝－bn＝－3－＝－3.(7分) 不等式≥2n－5， 化簡得k≥()max，對任意n∈N*恒成立．(8分) 設(shè)cn＝，則cn＋1－cn＝－＝. 當n≥3.5時，cn＋1≤cn，cn為單調(diào)遞減數(shù)列， 當1≤n

19、＜3.5時，cn＋1＞cn，cn為單調(diào)遞增數(shù)列，(10分) 所以n＝4時，cn取得最大值，(11分) 所以，要使k≥對任意n∈N*恒成立，k≥.(12分) 20．(本小題滿分12分) 設(shè)A、B分別為雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0) 的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為1. (Ⅰ)求雙曲線的方程； (Ⅱ)已知橢圓C2：＋＝1 (m>n>0)的焦點與雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的左右頂點重合，且離心率為.直線l：y＝kx－4交橢圓C2于A、B兩個不同的點，若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍． 【解析】(Ⅰ)由題意知a＝2，焦點坐標為(±

20、，0)一條漸近線為y＝x，即bx－2y＝0，焦點到漸近線的距離為1. 即＝1，∴b2＝1， ∴雙曲線的方程為－y2＝1.(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得雙曲線C1的頂點F(±2，0) ， ∵ 橢圓C2的焦點與雙曲線C1的頂點重合， ∴橢圓C2半焦距c＝2, m2－n2＝c2＝4. ∵橢圓C2的離心率為， ∴＝m＝4，n＝2， ∴橢圓C2的方程為：＋＝1.(6分) 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2－32kx＋16＝0. 由Δ>0(－32k)2－4×16(4k2＋3)>0k>或k<－. ①(7分) 由韋達定理得：x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)

21、∵原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，則·>0，(9分) ·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝y(tǒng)1y2＋x1x2＝(kx1－4)·(kx2－4)＋x1x2 ＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝(k2＋1)×－4k×＋16 ＝>0 －2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (Ⅲ)若在上

22、存在一點x0，使得f′＋2， 設(shè)x1>x2，則h－h(huán)>2，即h－2x1>h－2x2恒成立， 問題等價于函數(shù)F＝h－2x，即F＝x2＋aln x－2x在為增函數(shù)．(4分) 所以F′＝x＋－2≥0在上恒成立，即a≥2x－x2在上恒成立， 所以a≥＝1，即實數(shù)a的取值范圍是.(6分) (Ⅲ)不等式f′＋

23、n x0＋<0. 設(shè)m＝x－aln x＋，由題意知，在上存在一點x0，使得m<0.(8分) 由m′＝1－－＝＝. 因為x>0，所以x＋1>0，即令m′＝0，得x＝1＋a. ①當1＋a≤1，即a≤0時，m在上單調(diào)遞增， 只需m＝2＋a<0，解得a<－2.(9分) ② 當1<1＋a≤e，即0e，即a>e－1時，m在上單調(diào)遞減，

24、 只需m＝e－a＋<0，解得a>. 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是∪.(12分) 請考生在第22～23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。做答時請寫清題號。 22．(本小題滿分10分)選修4－4：極坐標與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，曲線C的參數(shù)方程為 (Ⅰ)寫出直線l及曲線C的直角坐標方程； (Ⅱ)過點M平行于直線l的直線與曲線C交于A、B兩點，若·＝，求點M軌跡的直角坐標方程． 【解析】(Ⅰ)直線l：y＝x，曲線C的直角坐標方程為＋y2＝1.(4分 ) (Ⅱ)設(shè)點M

25、(x0，y0)，過點M的直線為l1：(t為參數(shù))． 由直線l1與曲線C相交可得t2＋(x0＋2y0)t＋x＋2y－2＝0， 由·＝得＝，即＋＝1表示橢圓． 取y＝x＋m代入＋y2＝1得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 由Δ>0－x＋2的解集； (Ⅱ)若不等式f(x)≤a(x＋2)的解集為非空集合，求a的取值范圍． 【解析】(Ⅰ)當a＝1，不等式＋2－a>x＋2， 即為＋2－1>x＋2，即＋2>x＋3， 不等式等價于或或x<－1或－1≤x<0或x>2， 所以所求不等式的解集為.(5分) (Ⅱ)由f(x)≤a(x＋2)＋2－a≤a(x＋2)，即＋2≤a(x＋3)． 設(shè)g(x)＝＋2＝ 如圖，P(－3，0)，kPA＝，kPD＝kBC＝－3. 故由題可知a<－3或a≥.即a的取值范圍為(－∞，－3)∪.(10分)