《2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總高考解答題分項(xiàng)練(八)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總高考解答題分項(xiàng)練(八)（5頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
(八)數(shù)列(B)
1．(2018·江蘇金陵中學(xué)期末)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且滿足a1＝2，對?n∈N*，都有an＋1＝(p－1)Sn＋2(其中常數(shù)p>1)，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2(a1a2…an)．
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若p＝2，求b2 018的值；
(3)若?k∈N*，使得p＝2，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前2(k＋1)項(xiàng)的和．
(1)證明 因?yàn)?n∈N*，都有an＋1＝(p－1)Sn＋2，
an＋2＝(p－1)Sn＋1＋2，
所以兩式相減得an＋2－an＋1＝(p－1)an＋1，
即an＋2＝pan＋1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝
2、(p－1)a1＋2＝pa1，
所以an＋1＝pan(n∈N*)，
又a1＝2，p>1，
所以{an}是以2為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)得an＝2pn－1.
bn＝log2(a1a2…an)＝ log2
＝
所以b2 018＝2.
(3)解 由(1)得an＝2pn－1.
bn＝log2(a1a2…an)＝ log2
＝ log2＝1＋.
因?yàn)閎n－＝，
所以當(dāng)1≤n≤k＋1時(shí)，cn＝－bn，
當(dāng)n≥k＋2時(shí)，cn＝bn－.
因此數(shù)列{cn}的前2(k＋1)項(xiàng)的和T2k＋2
＝－(b1＋b2＋…＋bk＋1)＋(bk＋2＋bk＋3＋…＋b2k＋2)
3、
＝－＋
＝－＋ ＝.
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，a2＝2，設(shè)bn＝an＋an＋1，cn＝an·an＋1(n∈N*)．
(1)若數(shù)列{b2n－1}是公比為3的等比數(shù)列，求S2n；
(2)若數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列，求Sn；
(3)是否存在這樣的數(shù)列{an}，使得{bn}成等差數(shù)列和{cn}成等比數(shù)列同時(shí)成立，若存在，求出{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．
解 (1)b1＝a1＋a2＝1＋2＝3，
S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)
＝b1＋b3＋…＋b2n－1＝＝.
(2)∵bn＋1－bn＝an＋2－a
4、n＝3，
∴{a2k－1}，{a2k}均是公差為3的等差數(shù)列，
a2k－1＝a1＋(k－1)·3＝3k－2，
a2k＝a2＋(k－1)·3＝3k－1，
當(dāng)n＝2k(k∈N*)時(shí)，
Sn＝S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)
＝＋
＝3k2＝；
當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，
Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k2－3k＋1
＝3×2－3·＋1＝.
綜上可知，Sn＝
(3)∵{bn}成等差數(shù)列，∴2b2＝b1＋b3，
即2(a2＋a3)＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)，
a2＋a3＝a1＋a4，①
∵{cn}成等比數(shù)列，∴c＝c1c3
5、.
即(a2a3)2＝(a1a2)·(a3a4)，
∵c2＝a2a3≠0，∴a2a3＝a1a4，②
由①②及a1＝1，a2＝2，得a3＝1，a4＝2，
設(shè){bn}的公差為d，
則bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝d，
即an＋2－an＝d，
即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，
又d＝a3－a1＝a4－a2＝0，
∴數(shù)列{an}＝1,2,1,2,1,2，…，
即an＝
此時(shí)cn＝2，{cn}是公比為1的等比數(shù)列，滿足題意．
∴存在數(shù)列{an}，an＝
使得{bn}成等差數(shù)列和{cn}成等比數(shù)列同時(shí)成立．
3．已知{an}
6、，{bn}，{cn}都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝cnSn，n∈N*，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，{cn}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列．
(1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列，d＝2，c2＝3，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若an＝λn(λ是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(3)若a1＝c1＝d＝k(k為常數(shù)，k∈N*)，bn＝cn＋k(n≥2，n∈N*)，求證：對任意的n≥2，n∈N*，數(shù)列單調(diào)遞減．
(1)解 因?yàn)閐＝2，c2＝3，所以cn＝2n－1.
因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，
所以a1＝a2＝…＝an，Sn＝n
7、a1.
則由cnSn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn及cn＝2n－1，得
n(2n－1)＝b1＋b2＋…＋bn，
當(dāng)n≥2時(shí)，(n－1)(2n－3)＝b1＋b2＋…＋bn－1，
兩式相減得bn＝4n－3，n≥2.
當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1也滿足bn＝4n－3.
故bn＝4n－3(n∈N*)．
(2)證明 因?yàn)閍1b1＋a2b2＋…＋anbn＝cnSn，
當(dāng)n≥2時(shí)，cn－1Sn－1＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1，
兩式相減得cnSn－cn－1Sn－1＝anbn，
即(Sn－1＋an)cn－Sn－1cn－1＝anbn，
Sn－1(cn－cn－1)＋ancn＝anb
8、n，
所以Sn－1d＋λncn＝λnbn.
又Sn－1＝(n－1)＝，
所以d＋λncn＝λnbn，
即d＋cn＝bn，(*)
所以當(dāng)n≥3時(shí)，d＋cn－1＝bn－1，
兩式相減得bn－bn－1＝d(n≥3)，
所以數(shù)列{bn}從第二項(xiàng)起是公差為d的等差數(shù)列．
又當(dāng)n＝1時(shí)，由c1S1＝a1b1，得c1＝b1.
當(dāng)n＝2時(shí)，由(*)得
b2＝d＋c2＝d＋(c1＋d)＝b1＋d，
得b2－b1＝d.
故數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列．
(3)證明 由(2)得當(dāng)n≥2時(shí)，
Sn－1(cn－cn－1)＋ancn＝anbn，
即Sn－1d＝an(bn－cn)．
因?yàn)?/p>
9、bn＝cn＋k，所以bn＝cn＋kd，
即bn－cn＝kd，
所以Sn－1d＝an·kd，
即Sn－1＝kan，
所以Sn＝Sn－1＋an＝(k＋1)an.
當(dāng)n≥3時(shí)，Sn－1＝(k＋1)an－1，
兩式相減得an＝(k＋1)an－(k＋1)an－1，
即an＝an－1，
故從第二項(xiàng)起數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a2n－2，
bn＝cn＋k＝cn＋kd＝c1＋(n－1)k＋k2
＝k＋(n－1)k＋k2＝k(n＋k)，
另外由已知條件得(a1＋a2)c2＝a1b1＋a2b2.
又c2＝2k，b1＝k，b2＝k(2＋k)，
所以a2＝1，因而an＝n－2，n≥2.
令dn＝(n≥2)，則＝＝.
因?yàn)?n＋k＋1)k－(n＋k)(k＋1)＝－n<0，
所以<1，
又因?yàn)閐n>0，所以dn＋1
2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總高考解答題分項(xiàng)練(八)
