高三數學北師大版理一輪教師用書：第9章 第5節(jié) 第1課時 橢圓及其性質 Word版含解析

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1、 第五節(jié)　橢圓 [最新考綱]　1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數形結合思想.4.了解橢圓的簡單應用． 1．橢圓的定義 (1)平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的集合叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0. ①當2a>|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓； ②當2a＝|F1F2|時，M點的

2、軌跡為線段F1F2； ③當2a<|F1F2|時，M點的軌跡不存在． 2．橢圓的標準方程和幾何性質 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的關系 c2＝a2－b2 1．點P(x0，y0)和橢圓的位置關系 (1)點P

3、(x0，y0)在橢圓內?＋＜1. (2)點P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1. (3)點P(x0，y0)在橢圓外?＋＞1. 2．焦點三角形 如圖，橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．設r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中： (1)當r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc. (3)a－c≤|PF1|≤a＋c. (4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0

4、. 3．橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊長，a2＝b2＋c2. 4．已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a. 5．橢圓中點弦的斜率公式 若M(x0，y0)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kAB·kOM＝－，即kAB＝－. 6．弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長 |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2|＝(k為直線的斜率)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F2構

5、成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)關于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．若F1(－3,0)，F2(3,0)，點P到F1，F2距離之和為10，則P點的軌跡方程是(　　) A.＋＝1　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 A　[設點P的坐標為(x，y)，因為|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點P的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，其

6、中a＝5，c＝3，b＝＝4，故點P的軌跡方程為＋＝1.故選A.] 2．設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是(　　) A. B． C．2－ D．－1 D　[法一：設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，依題意，顯然有|PF2|＝|F1F2|，則＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0

7、＋＝1表示橢圓，則k的取值范圍是______． (3,4)∪(4,5)　[由已知得 解得3＜k＜5且k≠4.] 4．已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率為，則橢圓的標準方程為________． ＋＝1　[設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e＝，所以解得故橢圓的標準方程為＋＝1.] 第1課時　橢圓及其性質 考點1　橢圓的定義及應用 　橢圓定義的應用主要有兩個方面 一是判定平面內動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等． 　(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周

8、上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(　　) A．橢圓　　　　　　　 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 (2)F1，F2是橢圓＋＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為(　　) A．7　 B． C．　 D． (1)A　(2)C　[(1)由題意可知，CD是線段MF的垂直平分線， ∴|MP|＝|PF|， ∴|PF|＋|PO| ＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)． 又|MO|＞|FO|， ∴點P的軌跡是以F，O為焦點的橢圓，故選A. (2)由題意得a＝3，b＝，c＝， ∴

9、|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6. ∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8. ∴|AF1|＝， ∴S△AF1F2＝××2×＝.] 　本例(1)應用線段中垂線的性質實現了“|PF|＋|PO|”向定值的轉化；本例(2)把余弦定理與橢圓的定義交匯在一起，借助方程的思想解出|AF1|，從而求得△AF1F2的面積． [教師備選例題] 設F1，F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的

10、最小值為________． －5　[由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a， 當且僅當M，P，F2三點共線時取得等號， 又|MF2|＝＝5,2a＝10， ∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5， 即|PM|－|PF1|的最小值為－5.] 　已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 3　[設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 則所以2r1

11、r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.] 考點2　橢圓的標準方程 　定義法 　先根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結合焦點位置可寫出橢圓方程．特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件2a＞|F1F2|. 　1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是(　　) A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) A　[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢

12、圓(A，B，C不共線)．設其方程為＋＝1(a＞b＞0)，則a＝5，c＝4，從而b＝3. 由A，B，C不共線知y≠0. 故頂點C的軌跡方程是＋＝1(y≠0)．] 2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　) A．－＝1　　　 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 D　[設圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所

13、求的軌跡方程為＋＝1.] 　利用定義法求軌跡方程時，注意檢驗所求軌跡是否是完整的曲線，倘若不是完整的曲線，應對曲線中的變量x或y進行限制． 　待定系數法 　利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后根據條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，可設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式． 　1.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經 過兩點，(，)，則橢圓方程為________． ＋＝1　[設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)． 由解得m＝，n＝. ∴橢圓方程為＋＝1.] 2．過點(，－)，且與橢

14、圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為________． ＋＝1　[法一：橢圓＋＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4. 由橢圓的定義知， 2a＝＋， 解得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4， ∴所求橢圓的標準方程為＋＝1. 法二：∵所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同， ∴其焦點在y軸上， 且c2＝25－9＝16. 設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． ∵c2＝16，且c2＝a2－b2， 故a2－b2＝16.① 又點(，－)在所求橢圓上， ∴＋＝1， 則＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20， ∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.] 3．設F1，F2分

15、別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________． x2＋y2＝1　[不妨設點A在第一象限，如圖所示． ∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)． 又∵|AF1|＝3|F1B|， ∴由＝3得B， 代入x2＋＝1得＋＝1. 又c2＝1－b2，∴b2＝. 故橢圓E的方程為x2＋y2＝1.] 　(1)已知橢圓上兩點，常設方程為mx2＋ny2＝1(m＞0， n＞0，m≠n)；(2)橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為. 考點3　

16、橢圓的幾何性質 　橢圓的長軸、短軸、焦距 　求解與橢圓幾何性質有關的問題，如：頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內在聯系，同時要結合圖形進行分析． 　(1)已知橢圓＋＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 (2)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若長軸長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程為________． (1)A　(2)＋＝1　[(1)因為橢圓＋＝1的長軸在x軸上，所以 解得6

17、兩焦點恰好將長軸三等分， ∴2c＝×2a＝2，得c＝1， 因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8， 所以此橢圓的標準方程為＋＝1.] 　求離心率的值(或范圍) 　求橢圓的離心率，常見的有三種方法 一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率． 　(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A．　　　　　

18、　 B． C． D． (2)橢圓C的兩個焦點分別是F1，F2，若C上的點P滿足|PF1|＝|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是________． (1)D　(2)　[(1)由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c， ∴點P坐標為(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即點P(2c，c)．∵點P在過點A，且斜率為的直線上，∴＝，解得＝，∴e＝，故選D. (2)因為橢圓C上的點P滿足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.由a－

19、c≤|PF1|≤a＋c，解得≤≤. 所以橢圓C的離心率e的取值范圍是.] 　本例(2)在求解時運用了隱含條件“a－c≤|PF1|≤a＋c”．特別地，在求與橢圓的相關量的范圍時，要注意經常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關系． 　1.(2019·昌平二模)嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠月點與月球表面距離為400公里．已知月球的直徑為3 476公里，則該橢圓形軌道的離心率約為(　　)

20、 A.　 B. C.　 D. B　[如圖，F為月球的球心，月球半徑為：×3 476＝1 738，依題意，|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138. ∴2a＝1 838＋2 138，即 a＝1 988， ∴a＋c＝2 138, c＝2 138－1 988＝150， 故橢圓的離心率為：e＝＝≈，選B.] 2．已知F1，F2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點，若橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A. B． C. D. B　[∵F1，F2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點，∴0

21、<1，F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.設點P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化簡得x2＋y2＝c2.聯立方程組 整理得，x2＝(2c2－a2)·≥0，解得e≥. 又0

22、AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) (2)(2019·煙臺模擬)若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，若P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 (1)A　(2)C　[(1)由題意知，當M在短軸頂點時，∠AMB最大． ①如圖1，當焦點在x軸，即m＜3時， a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1. 圖1　　　　　　　　圖2 ②如圖2，當焦點在y軸，即m＞3時， a＝，b＝，tan α＝≥t

23、an 60°＝， ∴m≥9. 綜上，m的取值范圍(0,1]∪[9，＋∞)，故選A. (2)由題意知，O(0,0)，F(－1,0)，設P(x，y)，則＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2， ∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. ∵－2≤x≤2，∴當x＝2時，·有最大值6.] 　本例(1)的求解恰恰應用了焦點三角形中張角最大的情形，借助該臨界點可以迅速求出此種情形下的橢圓離心率，然后數形結合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助橢圓中變量x(y)的有界性解模的思路． [教師備選例題] 1．(2019·深圳模擬)

24、設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. D　[法一：(直接法)如圖，在Rt△PF2F1中， ∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝＝， 　|PF2|＝2c·tan 30°＝.　 ∵|PF1|＋|PF2|＝2a， 即＋＝2a，可得c＝a. ∴e＝＝. 法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中 ， 令|PF2|＝1， ∵∠PF1F2＝30°， ∴|PF1|＝2，|F1F2|＝. ∴e＝＝＝.故選D.] 2.如圖，焦點在x軸上的橢圓

25、＋＝1的離心率e＝，F，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________． 4　[由題意知a＝2，因為e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為＋＝1. 設P點坐標為(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤. 因為F(－1,0)，A(2,0)， ＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 則當x0＝－2時，·取得最大值4.] 3．已知橢圓＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作

26、此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是________． 　[因為|PT|＝(b>c)， 而|PF2|的最小值為a－c， 所以|PT|的最小值為. 依題意，有≥(a－c)， 所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)， 所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)， 所以5c2＋2ac－3a2≥0， 所以5e2＋2e－3≥0.① 又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2， 所以2e2<1.② 聯立①②，得≤e<.] 　以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為(　　) A．1　　 B． C．2　　 D．2 D　[設a，b，c分別為橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距，依題意知，當三角形的高為b時面積最大， 所以×2cb＝1，bc＝1， 而2a＝2≥2＝2(當且僅當b＝c＝1時取等號)．即長軸長2a的最小值為2.]