新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二章 ：第八節(jié)　函數(shù)與方程回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 【考綱下載】 1．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)． 2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解． 1．函數(shù)的零點 (1)定義 對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點． (2)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點間的關(guān)系[來源:] 方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]

2、上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 與x軸的 交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數(shù) 兩個 一個 零個 3.二分法的定義[來源:] 對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f

3、(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 1．函數(shù)的零點是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點嗎？是否任意函數(shù)都有零點？ 提示：函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點，而是y＝f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點，只有f(x)＝0有根的函數(shù)y＝f(x)才有零點． 2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，一定有f(a)·f(b)<0嗎？ 提示：不一定，如圖所示，f(a)·f(b)>0. 3．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)·f(b)<0成立，那么

4、y＝f(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一的零點嗎？ 提示：不一定，可能有多個． 1．(教材習(xí)題改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　 [來源:] A　 　　　　B　　　　　C　　　　　D[來源:] 解析：選C　由圖象可知，選項C所對應(yīng)零點左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號是相同的，故不能用二分法求解． 2．(教材習(xí)題改編)用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗證f(2)·f(4)<0，給定精確度ε＝0.01，取區(qū)間(2,4)的中點x1＝＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點

5、x0所在的區(qū)間為(　　) A．(2,4)　　　　　　　　　 B．(3,4) C．(2,3) D．(2.5,3) 解析：選C　∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0， ∴f(3)·f(4)>0， ∴零點x0所在的區(qū)間為(2,3)． 3．函數(shù)f(x)＝log2x＋x－4的零點所在的區(qū)間是(　　)[來源:學(xué)§科§網(wǎng)] A. B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：選C　因為f(2)＝log22＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，故零點所在的一個區(qū)間為

6、(2,3)． 4．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　函數(shù)f(x)＝ex＋3x零點的個數(shù)，即為函數(shù)y＝ex與y＝－3x圖象交點的個數(shù)．在同一坐標(biāo)系下畫出y＝ex與y＝－3x的圖象如圖． 故函數(shù)f(x)＝ex＋3x只有一個零點． 5．函數(shù)y＝|x|－m有兩個零點，則m的取值范圍是________． 解析：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出y1＝|x|和y2＝m的圖象，如圖所示，由于函數(shù)有兩個零點，故0

7、方程的根或函數(shù)零點有關(guān)的問題時，如果按照傳統(tǒng)方法很難奏效時，常通過數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點的坐標(biāo)問題來解決． [典例]　(2012·福建高考)對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________． [解題指導(dǎo)]　方程f(x)＝m恰有三個互不相等的實數(shù)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m恰有三個不同的交點，可借助圖形確定x1，x2，x3的范圍，進而求出x1x2x3的范圍． [解析]　由定義可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝ 即

8、f(x)＝作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示， 關(guān)于x的方程f(x)＝m恰有三個互不相等的實根x1，x2，x3，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝m有三個不同的交點，則00時，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0， ∴x2＋x3＝1， ∴0

9、元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及基本不等式確定x2x3的范圍； (3)正確確定x1的取值范圍． 2．函數(shù)y＝f(x)有零點?方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．在解決函數(shù)與方程的問題時，要注意這三者之間的關(guān)系，在解題中充分利用這個關(guān)系與實際問題的轉(zhuǎn)化． 若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，函數(shù)g(x)＝則方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－5,5]上的解的個數(shù)為　　(　　) A．5 B．7 C．8 D．10 解析：選C　依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象，結(jié)合圖象得，當(dāng)x∈[－5,5]時，它們的圖象的公共點共有8個，即方程f(x)－g(x)＝0在區(qū)間[－5,5]上的解的個數(shù)為8.