人教版高中數(shù)學(xué)選修11：3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例 課時(shí)提升作業(yè)二十五 3.4 Word版含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(二十五) 生活中的優(yōu)化問題舉例 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為　(　　) A.13萬件 B.11萬件 C.9萬件 D.7萬件 【解析】選C.y′=-x2+81,令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81>0,解得09, 在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù),在區(qū)間(9,+∞)上是減函數(shù),所以在x=9處取極大值,也是最大值. 2

2、.圓柱形金屬飲料罐的體積一定,要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省,它的高與底面半徑比為　(　　) A.2∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.4∶1 【解題指南】設(shè)出高及底面半徑,當(dāng)飲料罐用料最省時(shí),用體積表示出高及半徑后求比值. 【解析】選A. 設(shè)圓柱形飲料罐的高為h,底面半徑為R, 則表面積S=2πRh+2πR2.由V=πR2h, 得h=,則S(R)=2πR+2πR2 =+2πR2,令S′(R)=-+4πR=0, 解得R=, 從而h====2, 即h=2R,因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值,所以它是最小值,當(dāng)飲料罐的高與底面直徑相等,即h∶R=2∶1時(shí)所

3、用材料最省. 3.已知球O的半徑為R,圓柱內(nèi)接于球,當(dāng)內(nèi)接圓柱的體積最大時(shí),高等 于　(　　) A.R B.R C.R D.R 【解析】選A.設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r, 則h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-h2(00;

4、高二檢測)某箱子的體積與底面邊長x的關(guān)系為V(x)=x2(00,此時(shí)V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)40

5、大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),當(dāng)容器的體積最大時(shí),該容器的高為　(　　) A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm 【解析】選C.設(shè)容器的高為xcm,容器的體積為V(x)cm3, 則V(x)=(90-2x)(48-2x)x =4x3-276x2+4320x(00,當(dāng)10

6、唯一極大值, 所以容器高x=10cm時(shí),容器體積V(x)最大. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.如果圓柱軸截面的周長l為定值,則體積的最大值為　　　　. 【解析】設(shè)圓柱底面半徑為R,高為H,圓柱軸截面的周長l為定值, 則4R+2H=l,所以H=-2R, 所以V=SH=πR2H=πR2(-2R) =πR2-2πR3, 則V′=πRl-6πR2, 令V′=0,可得πRl-6πR2=0, 所以πR(l-6R)=0, 所以l-6R=0,所以R=, 當(dāng)R<時(shí)V′>0,R>時(shí),V′<0,故當(dāng)R=時(shí),V取極大值. 故當(dāng)R=時(shí),圓柱體積有最大值,圓柱體積的最大值是:V=πR2-

7、2πR3=. 答案: 7.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙兩地相距100千米,則當(dāng)汽車以　　　　千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少. 【解析】當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí),汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升, 依題意得h(x)=· =x2+-(00,h

8、(x)是增函數(shù). 所以當(dāng)x=80時(shí),h(x)取到極小值h(80)=11.25. 故當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少,最少為11.25升. 答案:80 【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲乙兩地相距240km,汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成,固定成本為160元,可變成本為v3元.為使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以　　　　　速度行駛. 【解析】設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,由題意,得 y==240,v>0, y′=240. 令y′=0,得v=80.當(dāng)v>80時(shí),y′>0; 當(dāng)0

9、in=720. 答案:80km/h 8.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)=1200+x3(萬元),已知產(chǎn)品單價(jià)的平 方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元,產(chǎn)量定為 　　　　件時(shí)總利潤最大. 【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為p,則有p2=,將x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=. 設(shè)總利潤為L,L=L(x) =x-(x>0), 即L(x)=x-1200-x3, L′(x)=-, 令L′(x)=0,即-=0,得x=25, 因?yàn)閤=25是函數(shù)L(x)在(0,+∞)上唯一的極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),從而是最大值點(diǎn). 答案:25 三、解答題(每小題1

10、0分,共20分) 9.(2015·泰安高二檢測)某工廠共有10臺(tái)機(jī)器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制,會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元,但每產(chǎn)生1萬件次品將虧損1萬元.(利潤=盈利-虧損) (1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù). (2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時(shí)所獲得的利潤最大,最大利潤為多少? 【解析】(1)由題意得,所獲得的利潤為y=10[2(x-P)-P

11、]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12). (2)由(1)知,y′== 當(dāng)4≤x<6時(shí),y′>0,函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù);當(dāng)6

12、中4

13、3)y′=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5), 令y′=0得x=7或x=5. 列表如下 x (4,5) 5 (5,7) 7 (7,7.5) y′ + 0 - 0 + y ↗ 極大值50 ↘ 極小值2 ↗ 故當(dāng)x=5時(shí),y最大=50, 故該商品售價(jià)為5元時(shí)廠家銷售該商品所獲年利潤最大. 【誤區(qū)警示】實(shí)際問題的求解不要忽視作答. 10.(2015·桂林高二檢測)用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體容器的框架,如果所制的容器的長與寬之比為2∶1,那么高為多少時(shí)容器的體積最大?并求出它的最大體積. 【解析】設(shè)長方體的寬

14、為xm,則長為2xm,高為(4.5-3x)m. 由解得00; 當(dāng)1

15、,共10分) 1.如圖所示,半徑為2的☉M切直線AB于點(diǎn)O,射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB.旋轉(zhuǎn)過程中,OC交☉M于點(diǎn)P.記∠PMO為x,弓形PnO的面積為S=f(x),那么f(x)的圖象是下圖中的　(　　) 【解析】選A.由所給的圖示可得,當(dāng)0

16、選A. 2.將邊長為1m的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=,則S的最小值是　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x,用x表示出梯形周長、梯形面積后代入求最值. 【解析】選A.設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x,則S==·(00,S(x)單調(diào)遞增; 故當(dāng)x=時(shí),S的最小值是. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(2015·

17、亳州高二檢測)某超市中秋前30天,月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(00,得t>2,令g′(t)<0,得0

18、掛一個(gè)49kg的物體,同時(shí)加力于桿的此端使桿保持水平平衡.若杠桿本身每米重2kg,則所加的力最小時(shí)杠桿的長度是　　　　　. 【解析】設(shè)杠桿長為xm,則根據(jù)題意和力的平衡關(guān)系,得 xF(x)=49×1+2x×,即F(x)=+x(x>0). 令F′(x)=-+1==0(x>0),得惟一的極值點(diǎn)x=7; 因?yàn)樽钍×Φ母軛U長確實(shí)存在,所以當(dāng)杠桿長為7m時(shí)最省力. 答案:7m 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.時(shí)下,網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢,假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+4(x

19、-6)2,其中2

20、2x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(20,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn), 所以當(dāng)x=≈3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值. 故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大. 6.(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為

21、l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直線分別為y,x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值. (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t. ①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域; ②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長度最短?求出最短長度. 【解析】(1)由題意知,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5),代入曲線C的方程y=可得:解得 (2)①由(1)知曲線C的方程為y=(5

22、≤x≤20),y′=-,所以y′|x=t=-即為l的斜率.又當(dāng)x=t時(shí),y=,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以l的方程為y-=-(x-t).令x=0,得y=;令y=0,得x=t.所以f(t)=,其中5≤t≤20; ②由①知f(t)=,其中5≤t≤20.令g(t)=+= t2+,所以g′(t)=t-=·=·.因?yàn)?≤t≤20,令g′(t)<0,得5≤t<10;令g′(t)=0,得t=10;g′(t)>0,得10

23、 【補(bǔ)償訓(xùn)練】新晨投資公司擬投資開發(fā)某項(xiàng)新產(chǎn)品,市場評(píng)估能獲得10～1000萬元的投資收益.現(xiàn)公司準(zhǔn)備制定一個(gè)對科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎(jiǎng)金不低于1萬元,同時(shí)不超過投資收益的20%. (1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為f(x),試用數(shù)學(xué)語言表述公司對獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求. (2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型: ①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-2. 試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求. 【解析】(1)由題意知,公司對獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求是: 當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),

24、①f(x)是增函數(shù);②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤恒成立, (2)①對于函數(shù)模型f(x)=+2: 當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)是增函數(shù), 則f(x)≥1顯然恒成立, 而若使函數(shù)f(x)=+2≤在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤不恒成立. 故該函數(shù)模型不符合公司要求. ②對于函數(shù)模型f(x)=4lgx-2: 當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)是增函數(shù), 則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1. 所以f(x)≥1恒成立. 設(shè)g(x)=4lgx-2-,則g′(x)=-. 當(dāng)x≥10時(shí),g′(x)=-≤=<0, 所以g(x)在[10,1000]上是減函數(shù), 從而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0. 所以4lgx-2-≤0,即4lgx-2≤,所以f(x)≤恒成立. 故該函數(shù)模型符合公司要求. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊