《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí): 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí): 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)不等式的證明 考綱傳真通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法1基本不等式定理1:設(shè)a,bR,則a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號成立定理2:如果a,b為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號成立定理3:如果a,b,c為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號成立定理4:(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1,a2,an為n個(gè)正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí),等號成立2不等式證明的方法(1)比較法是證明不等式最基本的方法,可分為作差比較法和作商比較法兩種.名稱作差比較法作商比較法理論依據(jù)abab0abab0abab0b0,1ab b0,1ab(2)綜合法與分析法綜合法:利用某
2、些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出所要證明的不等式,這種方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒ǚ治龇ǎ簭那笞C的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備,那么就可以判定原不等式成立,這種方法叫作分析法即“執(zhí)果索因”的方法1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論()(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法,它是從已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步推理,最后達(dá)到待證的結(jié)論()(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法,是從待證結(jié)論出發(fā),一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件
3、,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)()(4)使用反證法時(shí),“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)若ab1,xa,yb,則x與y的大小關(guān)系是()AxyB.xyCxy D.xyAxyaab.由ab1得ab1,ab0,所以0,即xy0,所以xy.3(教材改編)已知ab0,M2a3b3,N2ab2a2b,則M,N的大小關(guān)系為_MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0,所以ab0,ab0,2ab0,從而(ab)(ab)(2ab)0,故2a3b32ab2a2b.4已知a0,b0且ln
4、(ab)0,則的最小值是_4由題意得,ab1,a0,b0,(ab)2224,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立5已知x0,y0,證明:(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤0,y0,所以1xy230,1x2y30,8分故(1xy2)(1x2y)339xy.10分比較法證明不等式已知a0,b0,求證:.證明法一:()0,.10分法二:由于111.8分又a0,b0,0,.10分規(guī)律方法1.在法一中,采用局部通分,優(yōu)化了解題過程;在法二中,利用不等式的性質(zhì),把證明ab轉(zhuǎn)化為證明1(b0)2作差(商)證明不等式,關(guān)鍵是對差(商)式進(jìn)行合理的變形,特別注意作商證明不等式,不等式的兩邊應(yīng)同號提醒:在使用作商比較法
5、時(shí),要注意說明分母的符號變式訓(xùn)練1(2017莆田模擬)設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a2b2(ab). 【導(dǎo)學(xué)號:01772447】證明因?yàn)閍2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).6分因?yàn)閍0,b0,所以不論ab0,還是0ab,都有ab與同號,所以(ab)0,所以a2b2(ab).10分綜合法證明不等式設(shè)a,b,c均為正數(shù),且abc1,證明: 【導(dǎo)學(xué)號:01772448】(1)abbcac;(2)1.證明(1)由a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca,得a2b2c2abbcca,由題設(shè)得(abc)21,即a2b2c22ab2bc2ca1,所以3(abbcca)1,即a
6、bbcca.5分(2)因?yàn)閎2a,c2b,a2c,故(abc)2(abc),則abc,所以1.10分規(guī)律方法1.綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?,其證明的邏輯關(guān)系是:AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理,B為要證結(jié)論),它的常見書面表達(dá)式是“,”或“”2綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵變式訓(xùn)練2(2017石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m;(2)若a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足abcm,求證:3.解(1)當(dāng)x1時(shí),f(x)2(x1)(x2)3x3;2分當(dāng)1x
7、2時(shí),f(x)2(x1)(x2)x43,6);當(dāng)x2時(shí),f(x)2(x1)(x2)3x6.綜上,f(x)的最小值m3.5分(2)證明:a,b,c均為正實(shí)數(shù),且滿足abc3,因?yàn)?abc)22(abc).8分(當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)取“”)所以abc,即3.10分分析法證明不等式(2015全國卷)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且abcd,證明:(1)若abcd,則;(2)是|ab|cd|的充要條件證明(1)a,b,c,d為正數(shù),且abcd,欲證,只需證明()2()2,也就是證明ab2cd2,只需證明,即證abcd.由于abcd,因此.5分(2)若|ab|cd|,則(ab)2(cd)2,即(ab)24ab
8、cd.由(1),得.8分若,則()2()2,即ab2cd2.因?yàn)閍bcd,所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要條件.10分規(guī)律方法1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題,考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,由于兩個(gè)不等式兩邊都是正數(shù),可通過兩邊平方來證明2當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí),可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆3分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”,其框圖表示為:變式訓(xùn)練3已知abc,且abc0,求證:a.證明要證a,只需證b2ac3a2.abc0,只需證b2a(
9、ab)3a2,只需證2a2abb20,4分只需證(ab)(2ab)0,只需證(ab)(ac)0.abc,ab0,ac0,(ab)(ac)0顯然成立,故原不等式成立.10分思想與方法1比較法:作差比較法主要判斷差值與0的大小,作商比較法關(guān)鍵在于判定商值與1的大小(一般要求分母大于0)2分析法:BB1B2BnA(結(jié)論)(步步尋求不等式成立的充分條件)(已知)3綜合法:AB1B2BnB(已知)(逐步推演不等式成立的必要條件)(結(jié)論)易錯(cuò)與防范1使用平均值不等式時(shí)易忽視等號成立的條件2用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí),要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論,再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立