數(shù)學理高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題三 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 Word版含解析

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1、 A級　基礎通關 一、選擇題 1．(2019·華師附中檢測)《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，它有如下問題：“今有圓堡瑽(cōnɡ)，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長為4丈8尺，高1丈1尺．問它的體積是多少？”(注：1丈＝10尺，取π＝3)(　　) A．704立方尺 B．2 112立方尺 C．2 115立方尺 D．2 118立方尺 解析：設圓柱體底面半徑為r，高為h，周長為C. 因為C＝2πr，所以r＝， 因此V＝πr2h＝π··h＝＝＝2 112(立方尺)． 答案：B 2．(2018·北京卷)某四棱錐的三視

2、圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1　 B．2　　 C．3　 D．4 解析：由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD為銳角三角形．所以側面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個． 答案：C 3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．8＋3π

3、 B．8＋4π C．8＋5π D．8＋6π 解析：由題圖可知，幾何體為半圓柱挖去半球體，幾何體的表面積為2××4＋π＋2×4－π＋＝8＋6π. 答案：D 4．中國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側視圖的面積為(　　) A．18 B．18 C．18 D. 解析：在俯視圖Rt△ABC中， 作AH⊥BC交于點H. 由三視圖的意義，則BH＝6， HC＝3， 根據(jù)射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝3.易知該“塹堵”的側視圖是矩形，長為6，寬為AH＝3，故側視圖的面

4、積S＝6×3＝18. 答案：C 5．我國古代數(shù)學家祖暅在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“冪勢既同，則積不容異”(“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高)，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所表示的幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A．12－π B．8－π C．12－ D．12－2π 解析：依題意，不規(guī)則幾何體的體積等同于一長方體去掉半圓柱(底面半徑為1，高為2)后的體積． 所以V＝3×2×2－π×12×2＝12－π. 答案：A 6．(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，

5、它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B. C. D. 解析：設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形． 所以r＝ ＝. 所以圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B. 答案：B 二、填空題 7．(2019·江蘇卷)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐EBCD的體積是________． 解析：設長方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，所以VE-BCD＝×ab×

6、c＝abc＝10. 答案：10 8．(2018·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6 9．(2017·北京卷改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為________． 解析：根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長為2的正方體中．由圖可知該四棱錐的最長棱為PD，PD＝＝2. 答案：2 10．(2019·惠州調研)已知一張矩形

7、白紙ABCD，AB＝10，AD＝10，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，現(xiàn)分別將△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于點P，則三棱錐PDEF的外接球的表面積為________． 解析：三棱錐P-DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2， 所以∠DPF＝90°， 且DF2＝102＋(5)2＝150. 又∠DEF＝90°， 所以DF的中點為三棱錐P-DEF的外接球的球心，則2R＝DF，故球的表面積S＝4πR2＝150π. 答案：150π B級　能力提升 11．(2018·全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積

8、為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：由等邊△ABC的面積為9可得AB2＝9， 所以AB＝6， 所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2. 設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2. 所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6， 所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18. 故選B. 答案：B 12．我國齊梁時代的數(shù)學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸

9、旋轉所成的旋轉體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β任意距離d處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，半短軸長為1，半長軸長為3的橢球體的體積是________． 解析：因為S圓＝S環(huán)總成立，則半橢球體的體積為πb2a－πb2a＝πb2a. 所以橢球體的體積V＝πb2a. 因為橢球體半短軸長為1，半長軸長為3即b＝1，a＝3. 故橢球體的體積V＝πb2a＝4π. 答案：4π 13．在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，

10、若四棱錐PABCD為陽馬，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，設該陽馬的外接球半徑為R，內切球半徑為r，則R＝________，內切球的體積V＝________． 解析：在四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，且底面為矩形，將該“陽馬”補成長方體， 則(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41. 因此R＝. 依題意Rt△PAB≌Rt△PAD，則內切球O在側面PAD內的正視圖是△PAD的內切圓，且該內切圓與△PAB的內切圓全等． 故內切球的半徑r＝(3＋4－5)＝1， 則V＝πr3＝π. 答案：　π 14．(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 解析：如圖，連接OA，OB. 由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB， 平面SCA∩平面SCB＝SC， 所以OA⊥平面SCB. 設球O的半徑為r，則 OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以三棱錐S-ABC的體積 V＝×·OA＝， 即＝9，所以r＝3，所以S球表＝4πr2＝36π. 答案：36π