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1、
課時分層訓練(十八)
A組 基礎達標
(建議用時：30分鐘)
1．已知|2x－3|≤1的解集為[m，n]．
(1)求m＋n的值；
(2)若|x－a|＜m，求證：|x|＜|a|＋1.
[解] (1)由不等式|2x－3|≤1可化為－1≤2x－3≤1，
得1≤x≤2，
∴m＝1，n＝2，m＋n＝3.
(2)證明：若|x－a|＜1，則|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.
2．若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，求實數(shù)a的值.
【導學號：62172384】
[解] 當a＝－1時，f(x)＝3|x＋1|≥0，不滿足題意；
當a＜－1時，
2、f(x)＝
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，
解得a＝－6；
當a＞－1時，f(x)＝
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，
解得a＝4.
綜上所述，實數(shù)a的值為－6或4.
3．已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍．
[解] (1)當a＝－3時，
不等式f(x)≥3化為|x－3|＋|x－2|≥3.(*)
若x≤2時，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.
若2＜x＜3時，由(*)式知，解集為?.
若x≥3時，由(*)式，
3、得2x－5≥3，∴x≥4.
綜上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}．
(2)原不等式等價于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)
當1≤x≤2時，(**)式化為4－x－(2－x)≥|x＋a|，
解得－2－a≤x≤2－a.
由條件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，
∴－2－a≤1且2≤2－a，則－3≤a≤0，
故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是[－3,0]．
4．(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解] (1)f(x)＝
當x≤－時
4、，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
當－＜x＜時，f(x)＜2；
當x≥時，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)證明：由(1)知，當a，b∈M時，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．求不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1的解集. 【導學號：62172385】
[解]?、佼攛＜－3時，原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，
解得x＜1
5、0，∴x＜－3.
②當－3≤x＜時，原不等式化為(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，
∴－3≤x＜－.
③當x≥時，原不等式化為
(x＋3)－(2x－1)＜＋1，
解得x＞2，∴x＞2.
綜上可知，原不等式的解集為.
2．已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式 f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范圍．
[解] (1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，
當x≥2時，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；
當x≤－3時 ，有－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈?；
當－3＜x＜2時，有2x＋1≥3，解得1≤x＜
6、2.
綜上，f(x)≥3的解集為.
(2)由絕對值不等式的性質(zhì)可得，
||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，
則有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.
若f(x)≥|a－4|有解，則|a－4|≤5，
解得－1≤a≤9.
即a的取值范圍為[－1,9]
3．已知正實數(shù)a，b滿足：a2＋b2＝2.
(1)求＋的最小值m；
(2)設函數(shù)f(x)＝|x－t|＋(t≠0)，對于(1)中求得的m是否存在實數(shù)x，使得f(x)＝成立，說明理由．
[解] (1)∵2＝a2＋b2≥2ab，
∴≥ab(a＞0，b＞0)，則≤1.
又＋≥≥2，
當且僅當a＝b時取等號，
7、
∴＋的最小值m＝2.
(2)函數(shù)f(x)＝|x－t|＋≥＝＝|t|＋≥2.
對于(1)中的m＝2，＝1＜2.
∴滿足條件的實數(shù)x不存在．
4．已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
[解] (1)依題設，得|x－1|＜|3x＋2|，
所以(x－1)2＜(3x＋2)2，則x＞－或x＜－，
故原不等式的解集為.
(2)因為m＋n＝1(m＞0，n＞0)，
所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，
當且僅當m＝n＝時，等號成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝
則x＝－時，g(x)取得最大值＋a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.
解得a≤.
又a＞0，因此0＜a≤.
高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第6章 第74課 課時分層訓練18
