數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試：第二部分 專題一 第2講 三角恒等變換與解三角形 Word版含解析

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1、 A級　基礎(chǔ)通關(guān) 一、選擇題 1．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值為(　　) A.　 B.　 C．－　 D．－ 解析：因?yàn)閠an 120°＝＝－， 即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－. 答案：D 2．(2019·華師附中檢測)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，則tan等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x， 又x∈(0，π)，則tan x＝2， 故tan＝＝. 答案：A 3．(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝

2、，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4 B. C. D．2 解析：因?yàn)閏os＝， 所以cos C＝2cos2－1＝2×()2－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×(－)＝32， 所以AB＝4. 答案：A 4．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，則c＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 解析：由正弦定理及＝2cos C， 得＝＝1， 從而2cos C＝1，則C＝60°. 又S△ABC＝absin

3、 C＝2，知ab＝8. 又a＋b＝6， 所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°＝(a＋b)2－3ab＝12， 故c＝2. 答案：B 5．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，發(fā)現(xiàn)A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測得B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為(　　) A．20海里 B．40海里 C．20(1＋)海里 D．40海里 解析：連接AB.由題意可知CD＝40海里，∠ADB＝60°，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以

4、∠CAD＝45°.在△ACD中，由正弦定理，得＝， 所以AD＝20(海里)． 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°. 所以BD＝CD＝40. 在△ABD中，由余弦定理得 AB＝＝20(海里)． 答案：A 二、填空題 6．(2018·全國卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________． 解析：因?yàn)閟in α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② 所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝－， 所以si

5、n(α＋β)＝－. 答案：－ 7．(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________． 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 又因?yàn)閎＝6，a＝2c，B＝， 所以36＝4c2＋c2－2×2c2×， 所以c＝2，a＝4， 所以S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6. 答案：6 8．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，則cos C＝________；當(dāng)BC＝1時(shí)，△ABC的面積等于________． 解析：

6、因?yàn)閟in A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 所以a∶b∶c＝2∶3∶4. 令a＝2t，b＝3t，c＝4t， 則cos C＝＝－， 所以sin C＝. 當(dāng)BC＝1時(shí)，AC＝， 所以S△ABC＝×1××＝. 答案：－　 三、解答題 9．(2019·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； (2)若＝，求sin的值． 解：(1)因?yàn)閍＝3c，b＝，cos B＝， 由余弦定理，得cos B＝， 即＝，解得c2＝.所以c＝. (2)因?yàn)椋剑? 由正弦定理＝，得＝， 所以cos B＝2sin B.

7、 從而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)， 故cos2B＝. 因?yàn)閟in B＞0，所以cos B＝2sin B＞0，從而cos B＝.因此sin＝cos B＝. 10．(2019·衡水中學(xué)檢測)在△ABC中，頂點(diǎn)A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝2b，csin B＝bcos. (1)求角C； (2)若AD是BC上的中線，延長AD至點(diǎn)E，使得DE＝2AD＝2，求E，C兩點(diǎn)的距離． 解：(1)在△ABC中，由csin B＝bcos及正弦定理得sin C·sin B＝sin B，因?yàn)閟in B＞0， 化簡得sin C－cos C＝0， 即

8、tan C＝， 因?yàn)?＜C＜π，所以C＝. (2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝3b2， 所以a2＝b2＋c2，故A＝，即△ABC是直角三角形． 所以△ACD是等邊三角形，且AD＝CD＝AC＝1，∠CAD＝，DE＝2，所以AE＝3. 在△ACE中，CE2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos ＝7， 所以CE＝，即E，C兩點(diǎn)的距離為. B級　能力提升 11．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，a＋b＋c＝3，且csin Acos B＋asin Bcos C＝a，則△ABC的面積為(　　) A.或 B. C. D. 解析

9、：由csin Acos B＋asin Bcos C＝a及正弦定理， 得sin Csin Acos B＋sin Asin Bcos C＝sin A， 在△ABC中，sin A≠0， 從而sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A＝， 所以A＝或A＝. 若A＝，則a＞b且a＞c， 所以2a＞b＋c與a＝1，且b＋c＝2矛盾． 因此A＝. 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc， 所以1＝4－3bc，則bc＝1. 故S△ABC＝bcsin A＝. 答案：D 12．(2019·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別

10、為a，b，c已知asin ＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． 解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因?yàn)閟in A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ， 故cos ＝2sin cos . 因?yàn)閏os ≠0，故sin ＝，因此B＝60°. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 又由(1)知A＋C＝120°， 故由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.結(jié)合A＋C＝120°， 所以30°＜C＜90°，故＜a＜2，從而＜S△ABC＜. 因此△ABC面積的取值范圍是.