高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第二十六講 平面向量的應(yīng)用》課件 新人教版

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1、第二十六講平面向量的應(yīng)用第二十六講平面向量的應(yīng)用回歸課本回歸課本1.向量應(yīng)用的常用結(jié)論向量應(yīng)用的常用結(jié)論(1)兩個向量垂直的充要條件兩個向量垂直的充要條件符號表示符號表示:abab=0.坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示:設(shè)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則abx1x2+y1y2=0. (2)兩個向量平行的充要條件兩個向量平行的充要條件符號表示符號表示:若若ab,b0,則則a=b.坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示:設(shè)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則ab(x1,y1)=(x2,y2),即即 或或x1y2-x2y1=0.(3)夾角公式夾角公式cos= (0180).(4)模長公式模長公式|a|= (a=(

2、x,y).(5)數(shù)量積性質(zhì)數(shù)量積性質(zhì)|a b|a| |b|.121,2xxyy|a ba b222|axy2.向量應(yīng)用的分類概述向量應(yīng)用的分類概述(1)應(yīng)用平面向量解決函數(shù)與不等式的問題應(yīng)用平面向量解決函數(shù)與不等式的問題,是以函數(shù)和不等是以函數(shù)和不等式為背景的一種向量描述式為背景的一種向量描述,它需要掌握向量的概念及基本它需要掌握向量的概念及基本運(yùn)算運(yùn)算,并能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合適的向量并能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合適的向量,利用向量的利用向量的“數(shù)數(shù)” “形形”兩重性解決問題兩重性解決問題. (2)平面向量與三角函數(shù)的整合平面向量與三角函數(shù)的整合,仍然是以三角題型為背景的仍然是以三角題型為背景的一種向

3、量描述一種向量描述,它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識來解答化為三角函數(shù)的相關(guān)知識來解答,三角知識是考查的主體三角知識是考查的主體.(3)平面向量在解析幾何中的應(yīng)用平面向量在解析幾何中的應(yīng)用,是以解析幾何中的坐標(biāo)為是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述背景的一種向量描述,它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)運(yùn)算它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將向量將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題,進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答系的相關(guān)知識來解答,坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體. (4)平面向量在平面

4、幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用,是以平面幾何中的基本圖是以平面幾何中的基本圖形形(三角形三角形 平行四邊形平行四邊形 菱形等菱形等)為背景為背景,重點(diǎn)考查平面向重點(diǎn)考查平面向量的幾何運(yùn)算量的幾何運(yùn)算(三角形法則三角形法則 平行四邊形法則平行四邊形法則)和幾何圖形和幾何圖形的基本性質(zhì)的基本性質(zhì).(5)平面向量在物理力學(xué)等實(shí)際問題中的應(yīng)用平面向量在物理力學(xué)等實(shí)際問題中的應(yīng)用,是以實(shí)際問題是以實(shí)際問題為背景為背景,考查學(xué)科知識的綜合及向量的方法考查學(xué)科知識的綜合及向量的方法.注意注意:(1)在解決三角形形狀問題時在解決三角形形狀問題時,回答要全面回答要全面 準(zhǔn)確準(zhǔn)確,處理處理四邊形問題時四邊

5、形問題時,要根據(jù)平行四邊形或矩形要根據(jù)平行四邊形或矩形 菱形菱形 正方形正方形及梯形的性質(zhì)處理及梯形的性質(zhì)處理.(2)用向量處理物理問題時用向量處理物理問題時,一般情況下應(yīng)畫出幾何圖形一般情況下應(yīng)畫出幾何圖形,結(jié)合結(jié)合向量運(yùn)算與物理實(shí)際進(jìn)行解決向量運(yùn)算與物理實(shí)際進(jìn)行解決.考點(diǎn)陪練考點(diǎn)陪練01.(2010)ABCMm,m()A.2B.3C.4D.5MAMBMCABACmAM 湖北已知和點(diǎn)滿足若存在實(shí)數(shù) 使得成立 則01(),3,3,3:MABC,B.MAMBMCAMABACABACAM m 解析 由得點(diǎn)是的重心選答案答案:B3,|2.(2010),ABC,AD| 1,()3.2 3.23.B,3

6、3ABCBD ADAC ADABCD 天津 如圖 在中則:AD3,(AB,3)3,0,3,ACBCBABDBAAC ADBDBA ADBD ADBA ADBA ADAC ADBD ADBDADABAC AD 解析 因為所以又所以所以又所以33()323.BD ADADAB ADADAB AD 答案答案:D3.y2cosa., 2364.2234.2234.22312().22312xxA ycosxB ycosxC ycosxD ycos 將的圖象按向量平移 則平移后所得圖象的解析式為2, 2364122346122,34:A.xycosaycosxcosx 解析 函數(shù)的圖象按向量平移后所得圖

7、象解析式為所以選答案答案:A4.若直線若直線2x-y+c=0按向量按向量a=(1,-1)平移后與圓平移后與圓x2+y2=5相切相切,則則c的值為的值為( )A.8或或-2B.6或或-4C.4或或-6D.2或或-8解析解析:直線直線2x-y+c=0,按按a=(1,-1)平移后得直線平移后得直線2(x-1)-(y+1)+c=0,即即2x-y-3+c=0,由由d=r,得得 得得c=8或或-2.答案答案:A|3|5,5c5.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,若若 a2 +a2009 ,且且A B C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)該直線不過點(diǎn)O),則則S2010等于等于( )A.1

8、005B.1010C.2010D.2015解析解析:由題意知由題意知A B C三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線,則則a2+a2009=1.S2010= =10051=1005.故選故選A.答案答案:AOB OA OC120102010()2aa類型一類型一利用向量解決平面幾何問題利用向量解決平面幾何問題解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:一般情況下一般情況下,用向量解決平面幾何問題用向量解決平面幾何問題,要用不共線要用不共線的向量表示題目所涉及的所有向量的向量表示題目所涉及的所有向量,再通過向量的運(yùn)算法再通過向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)解決問題則和性質(zhì)解決問題.用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”:

9、建立平面幾何與向量的聯(lián)系建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾用向量表示問題中涉及的幾何元素何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;通過運(yùn)算通過運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題如距離、夾角等問題;把運(yùn)算結(jié)果把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何關(guān)系成幾何關(guān)系.【典例典例1】如圖如圖,正方形正方形OABC兩邊兩邊AB BC的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為D和和E,求求DOE的余弦值的余弦值.分析分析把把DOE轉(zhuǎn)化為向量夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角.1,21.211() ()2211().2:4ODOAADOAAB OEOCCEOCCBOD OEOA

10、ABOCCBOA OCAB OCOA CBAB CB 解 解法一222222,0,0.,| ,| ,| ,|OAOC ABCBOA OCAB CBABOC OACBAB OCABABOA CBOAOAOD OEABODOA 又2222222222|15| ,|c|2.44|4.55|os DOE|4ADABABABOEODODoOEABABOD OEODAB 解法二解法二:如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)設(shè)A(2,0),C(0,2),則則D(2,1),E(1,2).22 1 1 24.cos DO| |5.44.5|E|( 5)OD OEODOEODoOEOD OE 故 反思感悟反思感

11、悟利用向量解幾何題利用向量解幾何題,關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量,不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法;或者建立平面直角坐標(biāo)系或者建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)法解之用坐標(biāo)法解之.利用向量解平面幾何有時特別方便利用向量解平面幾何有時特別方便,但要注但要注意一點(diǎn)意一點(diǎn),不宜搞得過難不宜搞得過難,因為高考在這方面要求不高因為高考在這方面要求不高.類型二類型二向量在解析幾何的應(yīng)用向量在解析幾何的應(yīng)用解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:向量與解析幾何結(jié)合的綜合題是高考命題的熱點(diǎn)向量與解析幾何結(jié)合的綜合題是高考命題的熱點(diǎn),解題的關(guān)鍵是正確把握向量與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化和條件的運(yùn)解題的關(guān)鍵是正確把

12、握向量與坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化和條件的運(yùn)用用.常見技巧有兩個常見技巧有兩個:一是以向量的運(yùn)算為切入口一是以向量的運(yùn)算為切入口;二是結(jié)合二是結(jié)合向量的幾何意義及曲線的有關(guān)定義作轉(zhuǎn)化向量的幾何意義及曲線的有關(guān)定義作轉(zhuǎn)化.【典例典例2】在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOy中中,點(diǎn)點(diǎn)P到兩點(diǎn)到兩點(diǎn) 的距離之和等于的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為的軌跡為C,直線直線y=kx+1與與C交于交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn).(1)寫出寫出C的方程的方程;(2)若若 求求k的值的值;(3)若點(diǎn)若點(diǎn)A在第一象限在第一象限,證明證明:當(dāng)當(dāng)k0時時,恒有恒有(0,3),(0, 3),OAOB | |.OAOB 分析分析(1)由點(diǎn)由

13、點(diǎn)P滿足的條件列出等式滿足的條件列出等式,化簡可得化簡可得C的方程的方程;(2)由由 這是解題的突破口這是解題的突破口;(3)證明的關(guān)鍵是寫出證明的關(guān)鍵是寫出 再結(jié)合題的條件即再結(jié)合題的條件即可求證可求證.0,OAOBOA OB 22| ,OAOB 解解(1)設(shè)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知由橢圓定義可知,點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡的軌跡C是以是以 為焦點(diǎn)為焦點(diǎn),長半軸為長半軸為2的橢圓的橢圓.它的短半軸它的短半軸故曲線故曲線C的方程為的方程為x2+(0,3),(0, 3)222( 3)1,b 21.4y 112222121212122121212121222222222222A x ,y,B x ,y,y

14、,k4 x2kx30,xxxx xy y0.y yk x xk xx1,x x1,y y441,2,43.4,33210,444110,k2kyxykxkkxkOAOBkkkkk 設(shè)其坐標(biāo)滿足消去 并整理 得故若則而于是化簡得所以. 22222112222221212121211222122212223:|(xy )(xy )(xx )4(1x1x )3 xxxxA,x0.x xx0,|6 ().43,4|0.|xx0.k|,.0|,OAOBk xxkkOAOBOAOB 證明在第一象限 故由知從而又故即在題設(shè)條件下 恒有類型三類型三向量在物理中的應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:用向量知

15、識研究物理問題的基本思想和方法是用向量知識研究物理問題的基本思想和方法是:(1)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象認(rèn)真分析物理現(xiàn)象,深刻把握物理量之間的相互關(guān)系深刻把握物理量之間的相互關(guān)系;(2)通通過抽象過抽象 概括概括,把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題;(3)利用向量知識解決這個向量問題利用向量知識解決這個向量問題,并獲得這個向量的解并獲得這個向量的解;(4)利用這個結(jié)果利用這個結(jié)果,對原物理現(xiàn)象作出合理解釋對原物理現(xiàn)象作出合理解釋.即用向量知識即用向量知識圓滿解決物理問題圓滿解決物理問題.【典例典例3】一條河的兩岸平行一條河的兩岸平行,河寬為河寬為d km,一艘船從一艘

16、船從A處出處出發(fā)航行到對岸發(fā)航行到對岸,已知船航行的速度為已知船航行的速度為|v1| km/h,水流速度水流速度為為|v2| km/h.要使船抵達(dá)要使船抵達(dá)B的上游的上游C處且處且BC=d km,若取若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,則用時多少則用時多少? 解解作出位移平行四邊形作出位移平行四邊形AGCF,如圖所示如圖所示,則則CF=AG=|tv2|,在在RtABF中中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式代入上式,得得84t2-16t-8=0,解得解得t0.418(

17、h).類型四類型四向量在三角形中的應(yīng)用向量在三角形中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:平面向量與解三角形的綜合題是高考中的一個熱平面向量與解三角形的綜合題是高考中的一個熱點(diǎn)點(diǎn).其解題的基本思路是其解題的基本思路是:(1)在這些問題中在這些問題中,平面向量實(shí)際上主要呈現(xiàn)為敘述問題的一平面向量實(shí)際上主要呈現(xiàn)為敘述問題的一種語言或者工具種語言或者工具,其考查要求并不高其考查要求并不高,解題時要綜合利用平解題時要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學(xué)問題.(2)在解題時在解題時,既要考慮三角形中的邊角關(guān)系性質(zhì)的應(yīng)用既要考慮三角形中的邊角關(guān)系性質(zhì)

18、的應(yīng)用;又要又要考慮向量的工具性作用考慮向量的工具性作用,如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長與夾角問題長與夾角問題;還要注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表還要注意三角形中邊角的向量關(guān)系式的表示形式示形式. 224ABCSS3,.1;2fsin2sincos3c6,o.3sAB BCABBC 【典例 】已知的面積 滿足 且設(shè)與的夾角為求 的取值范圍求函數(shù)的最小值 1cos6,|Ssin3tan ,3tan36, | |6| |.1,tan1,(0|, ),|2333.64AB BCABBCABBCcosABBC 解又 即又 2min 2 f12cossin2cos2sin2

19、222222,46 43 273,41243f.442,3sin 由得當(dāng)時 反思感悟反思感悟三角形的三邊可與三個向量對應(yīng)三角形的三邊可與三個向量對應(yīng),這樣就可以利這樣就可以利用向量的知識來解三角形了用向量的知識來解三角形了,解決此類問題要注意內(nèi)角與解決此類問題要注意內(nèi)角與向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別,還要注意向量的數(shù)量積與還要注意向量的數(shù)量積與三角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用三角形面積公式之間關(guān)系的應(yīng)用.類型五類型五向量在函數(shù)不等式中的應(yīng)用向量在函數(shù)不等式中的應(yīng)用解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:借助向量的坐標(biāo)表示借助向量的坐標(biāo)表示,將已知條件實(shí)數(shù)化并轉(zhuǎn)化為將已知條件實(shí)數(shù)化并轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題

20、函數(shù)問題,利用函數(shù)的性質(zhì)解之利用函數(shù)的性質(zhì)解之.向量主要是通過模與不等向量主要是通過模與不等式聯(lián)系起來式聯(lián)系起來,常用的工具有均值不等式及常用的工具有均值不等式及|ab|a|b|.【典例典例5】設(shè)設(shè)0|a|2且函數(shù)且函數(shù)f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最的最大值為大值為0,最小值為最小值為-4,且且a與與b的夾角為的夾角為45,求求|a+b|.分析分析由于已知由于已知=45,故可求出故可求出|a|、|b|后再求后再求|a+b|. 22222f x1 sin xa sinxb0a2,sinx,ab10;sinx1,ab4.| 1.24|1241| 2,|2 | 104|ab84a|

21、 2.| 42,22.b2aasinxbaaabbab 解當(dāng)時當(dāng)時由即 反思感悟反思感悟由于已知由于已知f(x)的最值的最值,故可結(jié)合二次函數(shù)的最值確故可結(jié)合二次函數(shù)的最值確定定|a|與與|b|的大小的大小,再結(jié)合再結(jié)合=45,可求出可求出|a+b|.本本題充分體現(xiàn)了函數(shù)與不等式思想在向量中的應(yīng)用題充分體現(xiàn)了函數(shù)與不等式思想在向量中的應(yīng)用.錯源一錯源一錯誤地認(rèn)為錯誤地認(rèn)為|a b|=|a|b|【典例典例1】已知向量已知向量a,b,試比較試比較|a b|與與|a|b|的大小的大小.錯解錯解|a b|=|a|b|.剖析剖析設(shè)向量設(shè)向量a與與b的夾角為的夾角為.則則a b=|a|b|cos.(1)當(dāng)

22、當(dāng)ab時時,=90,a b=0,所以所以|a b|=0,但但|a|b|0,故有故有|a b|a|b|; (2)當(dāng)當(dāng)a與與b同向或反向時同向或反向時,cos0=1,cos180=-1,有有|a b|=|a|b|;(3)當(dāng)夾角當(dāng)夾角為銳角或鈍角時為銳角或鈍角時,|a b|=|a|b|cos|,|cos|1,故有故有|a b|a|b|.正解正解綜合上述可知綜合上述可知,|a b|a|b|.錯源二錯源二“共線共線”運(yùn)用出錯運(yùn)用出錯【典例典例2】如圖如圖,半圓的直徑半圓的直徑AB=2,O為圓心為圓心,C是半圓上不同是半圓上不同于于A,B的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn),若若P為半徑為半徑C上的動點(diǎn)上的動點(diǎn),則則 的

23、的最小值是最小值是_.()PAPB PC 22,1|1,2|11,22OAB,x 0 x1 ,22x 1x2x0 x1,0.PAPBPOPOPCABPCPO PCx 錯解點(diǎn) 是的中點(diǎn)設(shè) 則當(dāng)或時 上式有最小值 剖析剖析本題的錯誤在于忽視向量的方向本題的錯誤在于忽視向量的方向,導(dǎo)致了計算上的失導(dǎo)致了計算上的失誤誤.向量向量 雖然共線雖然共線,但其方向相反但其方向相反,所以向量運(yùn)算所以向量運(yùn)算時時,一定要看清方向一定要看清方向.,PO PC 22,|,|()211OAB,1x 0 x12 (1)2.,x2211.22,PAPBPOPCxPOPAPB PCPO PCxxx 正解點(diǎn) 是的中點(diǎn)設(shè)則 當(dāng)時

24、 上式有最小值12答案技法一技法一整體思想整體思想1,Rt ABC,BCa,2aPQA,?.PQBCBP CQ 【典例 】如圖所示 在中已知若長為的線段以點(diǎn) 為中點(diǎn)問與的夾角 取何值時的值最大 并求出這個最大值 解題切入點(diǎn)解題切入點(diǎn)解答本題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形解答本題的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形,利用向量的三利用向量的三角形法則找出向量之間的關(guān)系角形法則找出向量之間的關(guān)系;或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用利用向量的坐標(biāo)形式來解答向量的坐標(biāo)形式來解答. 解解以直角頂點(diǎn)以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)設(shè)B(b,

25、0),C(0,c),所以所以b2+c2=a2,設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則則Q點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,-y),且且x2+y2=a2,22222(, ),(,),()()()(, ),(xybxcy .2a cos2bx2cy2 ,a cosa ,cos2 ),1,0,0BPxb y CQxycBP CQxbxyycBCb c PQxyBC PQBP CQBP CQ 則又而當(dāng)時有最大值 即當(dāng)(),0.PQBCBP CQ 即與的方向相同 時最大 最大值為技法二技法二轉(zhuǎn)化與化歸轉(zhuǎn)化與化歸【典例典例2】如圖所示如圖所示,若點(diǎn)若點(diǎn)D是是ABC內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn),并且滿足并且滿足AB2+CD2=AC2+BD2,求證求證:ADBC.解題切入點(diǎn)解題切入點(diǎn)借助向量的減法借助向量的減法,分別表示出向量分別表示出向量,然后代入已然后代入已知條件證明知條件證明.22222222222222ABCDACBD ,cmbbmc,cm2m bbbm2,m cc ,2m cb0,.()0,0,ABc ACb ADmBDADABmcCDADACmbAD ABACAD CB 證明 設(shè)則即即即ADBC.