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1、第四單元第四單元 平面向量與復數平面向量與復數第一節(jié)第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算基礎梳理基礎梳理1.向量的有關概念及表示法大小方向 長度 模 記作0 0 長度為 的向量,其方向是任意的 零向量 向量 模 既有 又有 的量;向量的大小叫做向量的 (或 ) 向量 表示法定義名稱ABAB01 e e 相同 相反 a ab b 共線 相等 相同 a a=b b (1)a a與b b為相反的向量,則(2)0 0的相反向量為0 0長度 且方向 的向量 相反向量 長度 且方向 的向量 相等向量 向量又叫做共線向量 共線向量 a a與b b共線可記為 0 0與任一向量 方向 或
2、 的非零向量 平行向量 常用 表示 長度等于 的向量 單位向量 表示法定義名稱相等 相反 a a=-b b 平行 2.向量的線性運算三角形平行四邊形b b+a aa a+(b b+c c)三角形|a a|相同相反0()a a(a a)= ;(+)a a=(a a+b b)=(1)|a a|= .(2)當0時,a a與a a的方向 ;當0時,a a與a a的方向 ;當=0時,a a= .求實數與向量a a的積的運算 數乘 法則 求a a與b b的相反向量-b b的和的運算叫做a a與b b的差 減法 (1)交換律:a a+b b= .(2)結合律:(a a+b b)+c c= 法則 法則 求兩個
3、向量和的運算 加法 運算律 法則(或幾何意義) 定義 向量運算 a a+a aa a+b b3. 共線向量定理非零 存在 向量a a與向量b b共線的充要條件: 一個實數,使b b=a a基礎達標基礎達標1. （教材改編題）化簡 得( )A. B. C. D. 0 0ACBDDCBA AB DA BC 2. 對于向量a a,b b,且 =a a+2b b, =-5a a+6b b, =7a a-2b b,則共線的三點是( )A. A、B、C B. A、B、D C. A、C、D D. B、C、DAB CD BC D B 1.解: 原式0ACDBCDBAACCDDBBA 2.解析： =2a4b2，
4、 ，又BD與AB有公共點B，A、B、D三點共線 BDBCCD BDAB 3. (2011福州模擬)如圖e e1,e e2為互相垂直的單位向量，則向量a a-b b可表示為( )A. 3e e2-e e1 B. -2e e1-4e e2 C. e e1-3e e2 D.3e e1-e e2C 解析：如圖所示，記向量a，b的終點分別為A，B，則ab e13e2.AB 4. (2011南京模擬改編)設ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以OC、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H. 若OA=a a,OB=b b,OC=c c,用a a,b b,c c表示OH
5、為 . a a+b b+c c 解析： = ab， =abc.ODOAOB OHOCOD經典例題經典例題題型一題型一 平面向量的有關概念平面向量的有關概念 【例1】給出下列命題： 若|a a|b b|，則a a=b b； 若A，B，C，D是不共線的四點，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若a a,b b滿足|a a|b b|且a a與b b同向,則a ab b； 若a a/b b,b b/c c，則a a/c c. 其中正確命題的序號是 . （請把正確命題的序號都填上）解：不正確. 兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；正確；AB=DC，|AB|=|DC|且ABDC，
6、又 A，B，C，D是不共線的四點， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則ABDC且|AB|=|DC|，因此，AB=DC;向量不能比較大小,故不正確; 不正確,考慮b=0這種特殊情況.綜上所述，正確命題的序號是. 題型二題型二 平面向量的線性運算平面向量的線性運算【例2】（2010全國改編）ABC中，點D在邊AB上，且AD=2DB，若CB=a a,CA=b b， 則CD=( )A. a a+ b b B. a a+ b b C. a a+ b b D. a a+ b b1323231323454535 解：如圖，由題意得AD+2BD=0,又CD=CA+AD,CD=
7、CB+BD,+2，得3CD=CA+2CB=b b+2a a,CD= a a+ b b.2313題型三題型三 向量的共線及應用向量的共線及應用【例3】（2010蘇州模擬改編）設a a、b b是不共線的兩個非零向量.(1)若OA2a ab b，OB3a ab b，OCa a-3b b，求證：A、B、C三點共線；(2)是否存在實數k使8a akb b與ka a2b b共線，若存在，求出實數k的值；若不存在，請說明理由. 解：(1)證明：AB=(3a a+b b)-(2a a-b b)=a a+2b b,而BC(a3b b)(3a ab b)2a a4b b2AB，AB與BC共線. 又有公共點B，A、
8、B、C三點共線. (2)假設存在實數k,使8a akb b與ka a2b b共線，則存在實數，使得(8a akb b)(ka a2b b)(8k)a a(k2)b b0，a a與b b不共線，8k0,k208222，k=4.經驗證，k=4均適合.變式變式3-13-1（2010湖北）已知ABC和點M滿足MA+MB+MC=0 0.若存在實數m使得AB+AC=mAM成立，則m=( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解:由MA+MB+MC=0 0得MA+MB=-MC，設AB的中點為D,則MA+MB=2MD，從而-MC=2MD ，即CM=2MD，所以M點為ABC的重心. 設BC的中點為E，則AB+AC=2AE,所以AE=m2AM,由三角形重心的性質知:m=3.解析：由|AB+AC|=|AB-AC|可得ABAC,即得ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則|AM|=12|BC|=124=2.答案：C鏈接高考鏈接高考 （2010四川）設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外， BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,則|AM|=( )A. 8 B. 4 C. 2 D. 1知識準備：1. 要掌握平面向量加、減法的幾何意義;2. 要知道直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質.
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