2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第36講 數(shù)列通項(xiàng)的求法一（歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法）

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1、 第36講 數(shù)列通項(xiàng)的求法一（歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法） 【知識要點(diǎn)】 一、數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列的第項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.即.不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.不是每一個(gè)數(shù)列只有一個(gè)通項(xiàng)公式. 二、數(shù)列的通項(xiàng)的常見求法：通項(xiàng)五法 1、歸納法：先通過計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察數(shù)列中的項(xiàng)與系數(shù)，根據(jù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再證明. 2、公式法：若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可采用求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，確定數(shù)列的通項(xiàng)；若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng). 3、累加

2、法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累加法”求通項(xiàng). 4、累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng). 5、構(gòu)造法：(見下一講) 【方法講評】 方法一 歸納法 使用情景 已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式 解題步驟 觀察、歸納、猜想、證明. 【例1】在數(shù)列{}中，，且， （1）求的值； （2）猜測數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【點(diǎn)評】（1）本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.（2）歸納法在主觀題中一般用的比較少，一是因?yàn)樗o予嚴(yán)格的證明，二

3、是有時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)并不好猜想.如果其它方法實(shí)在不行，再考慮利用歸納法. 【反饋檢測1】在單調(diào)遞增數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，． （1）分別計(jì)算，和，的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）； （3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，． 方法二 公式法 使用情景 已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或已知. 解題步驟 已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，先求出等差（比）數(shù)列的基本量，再代入等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng). 【例2】已知數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且滿足，對一切都有成立，設(shè)． （1）求；（2）求證：數(shù)列 是

4、等比數(shù)列； （3）求使成立的最小正整數(shù)的值． 【點(diǎn)評】利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng). 【反饋檢測2】已知等比數(shù)列{}中，,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng). (1)求；(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【例3】數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，=1， ( n∈),求{}的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)評】（1）已知，一般利用和差法.如果已知也可 以采用和差法.（2）利用此法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)是否滿足，能并則并，不并則分. 【例4】已知函數(shù) ，是數(shù)列的前項(xiàng)和，點(diǎn)（）在曲線上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，，且是數(shù)列的前項(xiàng)和.

5、 試問是否存在最大值？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，又，所以. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， 所以. （Ⅱ）因?yàn)? ①所以 ② ③ ②－③得 . 整理得， ④ 方法一 利用差值比較法 由④式得，所以 因?yàn)?，所? 又，所以所以， 所以. 所以Tn存在最大值 方法三 利用放縮法 由①式得，又因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和， 所以. 所以 所以存在最大值. 【反饋檢測3】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和()，求{}的通項(xiàng)公式. 方

6、法三 累加法 使用情景 在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系 解題步驟 先給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個(gè)式子，再把這個(gè)式子左右兩邊對應(yīng)相加化簡，即得到數(shù)列的通項(xiàng). 【例4】已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求證：. 【解析】（1）法一：， 【點(diǎn)評】（1）本題，符合累加法的使用情景，所以用累加法求數(shù)列的通項(xiàng).（2）使用累加法時(shí)，注意等式的個(gè)數(shù)，是個(gè)，不是個(gè). 【反饋檢測4】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 方法四 累乘法 使用情景 若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系. 解

7、題步驟 先給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個(gè)式子，再把這個(gè)式子左右兩邊對應(yīng)相乘化簡，即得到數(shù)列的通項(xiàng). 【例5】已知數(shù)列滿足 【點(diǎn)評】（1）由已知得符合累乘法求數(shù)列通項(xiàng)的情景，所以使用累乘法求該數(shù)列的通項(xiàng).（2）使用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，只要寫出個(gè)等式就可以了，不必寫個(gè)等式. 【反饋檢測5】 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第36講： 數(shù)列通項(xiàng)的求法一（歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法）參考答案 【反饋檢測1答案】，，，. ①當(dāng)時(shí)，，，猜想成立； ②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即,，那么 , ∴時(shí)，猜想也成立．由

8、①②，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對任意的，猜想成立． ∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，． 即數(shù)列的通項(xiàng)公式為． （方法2）由（2）得． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明，． ①當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，．∴時(shí)，不等式成立． ②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即， 那么，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ．∴時(shí)，不等式也成立． 綜上所述： 【反饋檢測2答案】（1）；(2) =. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測4詳細(xì)解析】由得則 所以 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細(xì)解析】因?yàn)?，所以，則， 故 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 13