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1、
新編人教版精品教學(xué)資料
課時(shí)提升作業(yè)(八)
空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
(15分鐘 30分)
一、選擇題(每小題4分,共12分)
1.在三棱錐S-ABC中,與SA是異面直線的是 ( )
A.SB B.SC C.BC D.AB
【解析】選C.如圖所示,SB,SC,AB,AC與SA均是相交直線,BC與SA既不相交,又不平行,是異面直線.
2.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b⊥c,則直線a與c ( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定是異面直線
D.平行、相交或異面都有可能
【解析】選D.當(dāng)a,b,c共面時(shí),a∥c;當(dāng)
2、a,b,c不共面時(shí),a與c可能異面、平行也可能相交.
3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】選C.連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體AC1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直
【解析】選A.如圖所示,
3、直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.
二、填空題(每小題4分,共8分)
4.已知∠ABC=120°,異面直線MN,PQ,其中MN∥AB,PQ∥BC,則異面直線MN與PQ所成的角為 .
【解析】結(jié)合等角定理及異面直線所成角的范圍可知,異面直線MN與PQ所成的角為60°.
答案:60°
【補(bǔ)償訓(xùn)練】平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱有
條.
【解析】與AB平行、CC1相交的直線是CD,C1D1;與CC1平行,AB相交的直線是BB1,AA1;與AB,CC1都相交
4、的直線是BC,故滿足條件的棱有5條.
答案:5
5.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:
①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確結(jié)論為 (寫出所有正確結(jié)論的序號).
【解析】直線AM與CC1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,所以①②錯(cuò)誤.點(diǎn)B,B1,N在平面B1C中,點(diǎn)M在此平面外,所以BN,MB1是異面直線.同理AM,DD1也是異面直線.
答案:③④
三、解答題
6.(10分)如圖所示,OA
5、,OB,OC為不共面的三條射線,點(diǎn)A1,B1,C1分別是OA,OB,OC上的點(diǎn),且==成立.
求證:△A1B1C1∽△ABC.
【解題指南】由初中所學(xué)平面幾何知識,可證明兩內(nèi)角對應(yīng)相等,進(jìn)而證明兩個(gè)三角形相似.
【證明】在△OAB中,
因?yàn)?,所以A1B1∥AB.
同理可證A1C1∥AC,B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
【誤區(qū)警示】在立體幾何中,常利用等角定理來證明兩個(gè)角相等.此時(shí)要注意觀察這兩個(gè)角的方向必須相同,且能證明它們的兩邊對應(yīng)平行.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與C
6、D所成的角為30°,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),求EF與AB所成角的大小.
【解析】取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
所以∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角,∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.
因?yàn)锳B與CD所成的角為30°,
所以∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG為等腰三角形,當(dāng)∠EGF=30°時(shí),∠GEF=75°;
當(dāng)∠EGF=150°時(shí),∠GEF=15°.
故EF與AB所成的角為15°或75°.
(15分鐘 30分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.l1,l
7、2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是 ( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共點(diǎn)?l1,l2,l3共面
【解析】選B.A選項(xiàng),l1⊥l2,l2⊥l3,則l1與l3的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面;B選項(xiàng)正確;C選項(xiàng),l1∥l2∥l3,則l1,l2,l3既可能共面,也可能異面;D選項(xiàng),如長方體共頂點(diǎn)的三條棱為l1,l2,l3,但這三條直線不共面.
2.空間四邊形的兩條對角線相互垂直,順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是
( )
A.空間四邊形
8、 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解析】選B.易證四邊形EFGH為平行四邊形.又因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又FG∥BD,所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角.而AC與BD所成的角為90°,所以∠EFG=90°,故四邊形EFGH為矩形.
【拓展延伸】作異面直線所成角的三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中,補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體,以便找到平行線).
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2015·重慶高二檢測)給出下列四個(gè)命題,其中正確命題的序號是 .
①在空間若
9、兩條直線不相交,則它們一定平行;
②平行于同一條直線的兩條直線平行;
③一條直線和兩條平行直線的一條相交,那么它也和另一條相交;
④空間四條直線a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
【解析】①錯(cuò),可以異面;②正確,公理4;③錯(cuò)誤,和另一條可以異面;④正確,由平行直線的傳遞性可知.
答案:②④
4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(1)AA1與C1D1所成的角的度數(shù)為 .
(2)AA1與B1C所成的角的度數(shù)為 .
【解析】(1)因?yàn)锳A1∥DD1,所以∠DD1C1即為所求的角.
因?yàn)椤螪D1C1=90°,所以AA1與C1
10、D1所成的角為90°.
(2)因?yàn)锳A1∥BB1,所以∠BB1C即為所求的角.
因?yàn)椤螧B1C=45°,所以AA1與B1C所成的角為45°.
答案:(1)90° (2)45°
三、解答題
5.(10分)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P,經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線,應(yīng)該怎樣畫?并說明理由.
【解題指南】由于BC∥B1C1,所以平行于BC的直線只需要平行于B1C1即可.
【解析】如圖所示,在面A1C1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1,交A1B1于點(diǎn)E,交C1D1于點(diǎn)F,則直線EF即為所求.
理由:因?yàn)镋F∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
11、
【補(bǔ)償訓(xùn)練】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,試求AA1.
【解析】連接CD1,AC,由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1=BC,
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,
所以A1B∥CD1,
所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角,
因?yàn)楫惷嬷本€A1B和AD1所成的角為90°,
所以∠AD1C=90°,
因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中AB=BC=2,
所以△ACD1是等腰直角三角形.
所以AD1=AC,
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC=2×sin 60°×2=6,所以AD1=AC=3,
所以AA1==
=.
【拓展延伸】求兩異面直線所成角的技巧
求兩異面直線所成角的關(guān)鍵在于作角,總結(jié)起來有如下“口訣”:
中點(diǎn)、端點(diǎn)定頂點(diǎn),平移常用中位線;
平行四邊形柱中見,指出成角很關(guān)鍵;
求角構(gòu)造三角形,銳角、鈍角要明辨;
平行線若在外,補(bǔ)上原體在外邊.
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