第十三節(jié)平行四邊形的性質(zhì)

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1、 平行四邊形的性質(zhì) [知識(shí)要點(diǎn)] 1.你知道平行四邊形的定義和表示符號(hào)嗎？ 2.依次從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面，列出平行四邊形的性質(zhì)吧！ （1）邊： （2）角： （3）對(duì)角線： 3.兩條平行線間的距離是指什么呢？平行四邊形的面積公式是什么呢？ 你知道二者有什么關(guān)系嗎？對(duì)于平行四邊形的面積，你能找出其中一條規(guī)律來嗎？ 4．平行四邊形的知識(shí)運(yùn)用包括三個(gè)方面： (1)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決問題,求角、線段，證明角相等，互補(bǔ)，證明線段相等或平分； （2）判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，從而判定兩直線平行； （3）先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形

2、，然后用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題。 [典型例題] #利用平行四邊形的性質(zhì)求解邊和角 例1—1 在平行四邊形ABCD中 （1）若∠A=40°，則∠B= ，∠C= ，∠D= 。 （2）若∠A－∠B=80°，則∠A= ，∠B= 。 （3）若∠A+∠C=220°，則∠A= ，∠B= 。 （4）若周長(zhǎng)為44cm，AB－BC=2cm，則CD= ，AD= 。 A B C D O 例1—2 如圖，□ABCD中，AD⊥BD，垂足為D，OA=

3、10，OB=6，求BC、AB的長(zhǎng)。 #靈活運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)計(jì)算 A B C D 例2—1 如圖，四邊形ABCD為平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周長(zhǎng)為40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD各邊長(zhǎng)和各內(nèi)角的度數(shù)。 例2—2 已知□ABCD的周長(zhǎng)為80cm，AC⊥AB，△ABC的周長(zhǎng)為60cm，求AB與BC的長(zhǎng)。 A B C D O 例2—3 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠DAB:∠ABC=1:3，AB=4，BD與AC相交

4、于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的長(zhǎng)。 B C D A F E 例2—4 如圖，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分別為E，F(xiàn)，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，連結(jié)DF，求△DEC的面積。 #利用平行四邊形中對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系求取值范圍 A B C D O 例3—1 如圖，□ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于O點(diǎn)，若AC=8，BD=6，則邊AB長(zhǎng)的取值范圍為（ ） A．1﹤AB﹤7 B．2﹤AB﹤14 C．6﹤AB﹤8 D．3﹤AB14

5、 例3—2 平行四邊形的一邊長(zhǎng)為10，那么它的對(duì)角線長(zhǎng)度可以是（ ） A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6 #靈活運(yùn)用平行四邊形的面積公式計(jì)算 A B C D F E 例4—1 小強(qiáng)家承包了一塊苗圃用來養(yǎng)花。如圖所示，苗圃的形狀為平行四邊形，經(jīng)測(cè)量，其周長(zhǎng)是36m，從鈍角頂點(diǎn)D處向AB、BC引兩條高DE、DF的長(zhǎng)分別為5m、7m，求這個(gè)平行四邊形苗圃的面積。 D C B A h 例4—2 已知□ABCD中周長(zhǎng)是36cm，且AB=10cm，AD與BC間的距離為6cm，求：AB與CD之間的

6、距離。 A B C D E 例4—3 如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC=21厘米，BE⊥AC，垂足為E，且BE=5厘米，AD=7厘米，試求AD與BC之間的距離。 #利用平行線之間的垂線段處處相等求解 例5—1 如圖所示，點(diǎn)A（鄉(xiāng)鎮(zhèn)）、B（村）、C（村）同處一片平坦的地區(qū)，計(jì)劃經(jīng)過點(diǎn)A修建一條水泥路L，使點(diǎn)B、C到L的距離相等，在圖中畫出直線L。 C A B A B C D E F *例6 如圖所示，□ABCD中，∠ABC=75°，AF

7、⊥BC，垂足為F，AF交BD于E。若DE=2AB，求∠AED的度數(shù)。 A B C D E M *例7 如圖所示，□ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中點(diǎn)，∠BEM=50°，則∠B的大小是多少？ A D B C E F *例8 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且EF∥BD，求證：S△ABE=S△ADF。 *例9 如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF,求證：∠AOB=∠COB A B

8、 C D E F O [大展身手] #一、判斷題 1．一組對(duì)邊平行的四邊形叫做平行四邊形。 ( ) 2．一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形。 ( ) 3．兩條平行線間的距離是指從一邊上的任意一點(diǎn)到另一邊的距離。 ( ) 4．相鄰兩邊相等的平行四邊形的四條邊都相等。 ( ) 5．相鄰的兩個(gè)角都互補(bǔ)的四邊形為平行四邊形。 ( ) 6．平行四邊形的對(duì)角線相等。 ( ) 7．平行四邊形的一組鄰角的平分

9、線互相垂直。 ( ) 8．兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形。 ( ) 9．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形。 ( ) 10．對(duì)角線互相平分但不相等的四邊形是平行四邊形。 ( ) 11．有兩組鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。 ( ) 12．一組對(duì)邊平行，且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。 ( ) 13．有三個(gè)角為直角的四邊形是平行四邊形。 ( ) 二、選擇題 1.在□ABCD中，∠A=65°，則∠D的度數(shù)是（ ） A、105° B、115° C、125° D、65° 2.

10、在□ABCD中，∠B-∠A=20°，則∠D的度數(shù)是（ ） A、80° B、90° C、100° D、110° 3.已知□ABCD的周長(zhǎng)為40cm，邊AB-BC=4cm，則邊AD、CD的長(zhǎng)為（ ） A、10cm、14cm B、8cm、12cm C、14cm、10cm D、12cm、8cm 4.如圖4-1-1，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF與GH相交于O，則圖中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)是（ ） A、4個(gè) B、5個(gè) C、7個(gè) D、9個(gè) 5.如圖4-1-2，在□ABCD中，E、F分別是邊

11、AB、DC的中點(diǎn)，則圖中共有平行四邊形的個(gè)數(shù)是（ ） A、3個(gè) B、4個(gè) C、5個(gè) D、6個(gè) 圖4-1-2 B C F D A E 圖4-1-1 B C F G D E A H 6.在以下平行四邊形性質(zhì)中，錯(cuò)誤的說法是（ ） A、對(duì)邊平行 B、對(duì)角相等 C、對(duì)邊相等 D、對(duì)角線相等 7. □ABCD的對(duì)角線相交于O，△OBC的周長(zhǎng)為58cm，AD=28cm，兩條對(duì)角線之差為14cm，則兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為（ ） A、23cm和9cm B、23c

12、m和37cm C、8cm和22cm D、24cm和38cm 8. □ABCD的周長(zhǎng)為32，5AB=3BC，則對(duì)角線AC的取值范圍是（ ） A、6＜AC＜10 B、6＜AC＜16 C、10＜AC＜16 D、4＜AC＜16 9.以長(zhǎng)為5cm、4cm、7cm的三條線段中的兩條為邊，另一條為對(duì)角線畫平行四邊形，可以畫出形狀不同的平行四邊形的個(gè)數(shù)是（ ） A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè) 10.如圖4-1-3，在□ABCD中，EF對(duì)角線交點(diǎn)O，如果AB=6cm，AD=5cm，OF=2cm，那么四邊形BCEF的周長(zhǎng)為

13、（ ） A、13cm B、15cm C、11cm D、9.5cm 11.如圖4-1-3，在圖中有全等三角形（ ） A、3對(duì) B、4對(duì) C、5對(duì) D、6對(duì) 12.在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若BD與AC的和為18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周長(zhǎng)為13cm，那么BC的長(zhǎng)為（ ） A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm 13.如圖4-1-4，∥，AB∥CD，CE⊥，F(xiàn)G⊥，E、G為垂足，則下列說法不正確的是（ ） A、AB=C

14、D B、EC=FG C、A、B兩點(diǎn)的距離就是線段AB的長(zhǎng) D、與的距離就是線段CD的長(zhǎng) 14.在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A、1：2：4：2 B、1：2：1：2 C、1：1：2：2 D、1：2：2：1 15.平行四邊形兩鄰角的角平分線相交所成的角是（ ） A、銳角 B、直角 C、鈍角 D、不能確定 圖4-1-4 B D E G F C A 圖4-1-3 F B C E D A O 二、填空題 1．兩組

15、對(duì)邊分別 的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形的 的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。 2．平行四邊形的對(duì)邊 ，對(duì)角 。 3．用20cm長(zhǎng)的一根鐵絲圍成一個(gè)平行四邊形，使長(zhǎng)邊與短邊的比為3:2，則長(zhǎng)邊長(zhǎng)為 ，短邊長(zhǎng)為 。 4．在平行四邊形ABCD中，若∠A=2∠B，則∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= 。 5．在□ABCD中，∠A：∠B=3：2，則∠C= ，∠D= 。 6．若A、B、C

16、三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形一共可以做 個(gè)。 7．平行四邊形一組鄰角的平分線一定是 。 8．平行四邊形ABCD中，∠C=∠B+∠D，則∠B= 。 9．平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為56cm，兩鄰邊之比為3:5，則這兩鄰邊長(zhǎng)分別為 。 10．平行四邊形一個(gè)內(nèi)角比它的鄰補(bǔ)角大24度，則這個(gè)內(nèi)角為 。 11.如圖4-1-5，在□ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，則∠B= ，∠CAD= 。 12.已知O是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，A

17、B=10cm，BC=8cm，AC=16cm，BD=13cm，則△ODC的周長(zhǎng)是 ，△OAD的周長(zhǎng)是 。 13.在□ABCD中，如果AC=2cm，BD=6cm，CA⊥AB，那么□ABCD的周長(zhǎng)是 cm，面積是 cm2。 14.在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AB交AB于點(diǎn)E，OE=3cm，則AB與CD間的距離為 cm。 15. □ABCD的周長(zhǎng)為80cm，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)多8cm，那么AB= cm，BC= cm。 16.在□ABCD中，∠A=30，AB

18、=7cm，AD=6cm，則S□ABCD= 。 17.如圖4-1-6，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，AE=，AF=，則（1）∠BAD= ，∠C= ，∠D= ；（2）AB= ，BC= 。 圖4-1-6 C F D A B E 圖4-1-5 C D A B 18．過□ABCD的鈍角頂點(diǎn)A作兩條高AE，AF，若∠B=60°，則∠EAF= 。 19．□ABCD的周長(zhǎng)為60cm，

19、對(duì)角線AC，BD相交于O，△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)大8cm，則AB= ，BC= 。 20．□ABCD的周長(zhǎng)為40，兩鄰邊的比為3：5，其四邊的長(zhǎng)分別為 。 21．在□ABCD中，∠A的平分線分BC成4 cm和3 cm的兩線段，則四邊形的周長(zhǎng)為 。 22．□ABCD的周長(zhǎng)為25 cm，對(duì)邊距離都為2 cm，則它的面積為 。 23．如果在□ABCD中，AB=8，對(duì)角線AC=6，則另一條對(duì)角線BD的范圍是 。 24．□ABCD的周長(zhǎng)為22 cm，AC，BD交于O點(diǎn)，△AOD的周長(zhǎng)比△AOB的周長(zhǎng)

20、小3 cm，則AD= ，AB= 。 25．過□ABCD的鈍角頂點(diǎn)A，分別作兩條高AE和AF，若∠EAF=60°，BE=2，DF=3，則 □ABCD的面積為 。 26．已知四邊形ABCD中，AD∥BC，分別補(bǔ)上下列條件中的哪一個(gè)條件，四邊形就為平行四邊形：①AD=BC；②AB∥CD；③AB=AD；④∠A=∠C。 （填上序號(hào)） 27．平行四邊形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為3和5，其夾角為120°，則該平行四邊形的面積為 。 三、解答題 #1．在平行四邊形ABCD中，∠B+∠D=140°，求各內(nèi)角的度數(shù)。

21、 #2．平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的長(zhǎng)。 A B C D E B C A D M 3．如圖，平行四邊形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，求∠BMC的度數(shù)。 圖4-1-9 C F D A B E 4.如圖4-1-9，在□ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，□ABCD的周長(zhǎng)為20cm，求S□ABCD。 5.如圖4-1-10，在□ABCD中，D在AB

22、的中垂線DE上，若□ABCD的周長(zhǎng)為38cm，△ABD的周長(zhǎng)比□ABCD的周長(zhǎng)少10cm，求□ABCD的一組鄰邊的長(zhǎng)。 圖4-1-10 B C D A E B E C D A F 6．在□ABCD中，E、F分別是AC、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CE=AF，求證：BF∥DE。 A F C D B 7．如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，DE∥AC，DF∥AB，AB=AC=13cm，試說明：四邊形AEDF是平行四邊形，并求它的周長(zhǎng)。

23、 B C D A E F 8．如圖，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則DF長(zhǎng)多少？ 9．如果平行四邊形的一組鄰邊的長(zhǎng)相等，且等于其較短的對(duì)角線的長(zhǎng)，而此對(duì)角線的長(zhǎng)為4cm，求此平行四邊形相鄰兩內(nèi)角的度數(shù)及各邊的長(zhǎng)。 10．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使得AB=AE=BF，連結(jié)CE和DF交于點(diǎn)O，求證：EC⊥DF。（要求完整過程） F B C D O A E 12