精修版貴州省貴陽(yáng)市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 19第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 【例題求解】 【例1】 如圖，直線AB與⊙O相交于A，B再點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝40°，點(diǎn)E是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合)，直線EC交⊙O于另一點(diǎn)D，則使DE=DO的點(diǎn)正共有 個(gè)． 思路點(diǎn)撥 在直線AB上使DE=DO的動(dòng)點(diǎn)E與⊙O有怎樣的位置關(guān)系? 分點(diǎn)E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長(zhǎng)線上(E點(diǎn)在⊙O外)三種情況考慮，通過(guò)角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù)． 注： 弧是

2、聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法． 【例2】 如圖，已知△ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F、M，對(duì)于如下五個(gè)結(jié)論：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、

3、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗(yàn)證． 注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問(wèn)題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇． 【例3】 如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面積． 思路點(diǎn)撥 由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵． 【例4】 如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AB于D(AD

4、線CD交于點(diǎn)G． (1)求證：AC2=AG×AF； (2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立．請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 (1)作出圓中常用輔助線證明△ACG∽△AFC； （2）判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵． 注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問(wèn)題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件． 【例5】 如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對(duì)角線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CF

5、的交點(diǎn)為P． 求證：（1）；(2)． 思路點(diǎn)撥 解本例的關(guān)鍵在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對(duì)相似三角形． (1) 證明△QDE∽△ACF；(2)易證，通過(guò)其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題的證明． 注：有些幾何問(wèn)題雖然表面與圓無(wú)關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有： (1)利用圓的定義判定； (2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．一條弦把

6、圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為 ． 2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的一點(diǎn)，則∠1+∠2= ． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，則EF的長(zhǎng)為 ． 4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，設(shè)⊙O的半徑為，AB的長(zhǎng)為，用的代數(shù)式表示，= ． 5．如圖

7、，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于( ) A．120° B．136° C．144° D．150° 6．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，則∠BOC等于( ) A．20° B．30° C．40° D．50° 7．如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點(diǎn)，AB=，BC=2，則∠D的度數(shù)為( ) A．60° B． 120° C． 135° D．150° ⌒ ⌒ 8．如圖，⊙O的直徑AB垂

8、直于弦CD，點(diǎn)P是弧AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F．給出下列四個(gè)結(jié)論：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④ ∠EPC=∠APD，其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．如圖，已知B正是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高． (1)求證：AC·BC=BE·CD； (2) 已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)． 10．如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，

9、交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C． (1)求證：FB=FC； (2)求證：FB2=FAFD； (3)若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長(zhǎng)． 11．如圖，B、C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(diǎn)(B、C點(diǎn)除外)，則tan∠APB·tan∠CPD= ． 12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，則四

10、邊形ABCD的面積為 ． 13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，則BC= ． ⌒ 14．如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點(diǎn)，∠B=40°，則∠A等于( ) A．60° B．50° C．80° D．70° 15．如圖，已知AB

11、CD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長(zhǎng)AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，則⊙O的面積為( ) A．25π B．16π C．15π D．13π (2001年紹興市競(jìng)賽題) 16．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過(guò)A、D兩點(diǎn)的圓與AB、AC分別相交于點(diǎn)E、F，弦EF與AD相交于點(diǎn)G，則圖中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為( ) A．5 B

12、．4 C．3 D．2 17．如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積． 18．如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，且有∠BAE=∠DAC． 求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·B C＝AC·BD． 19．如圖，已知P是⊙O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，直線PCD交⊙O于C、D兩點(diǎn)，弦DF⊥AB于點(diǎn)H，CF交AB于點(diǎn)E． (1)求證：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為

13、2，求弦CF的長(zhǎng)． ⌒ 20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F． (1)求∠B的度數(shù)； (2)求CE的長(zhǎng)； (3)求證：DA、DC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 參考答案 最新精品資料