陜西省高中數(shù)學 第一章 推理與證明 數(shù)學歸納法課件1 北師大版選修22

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1、數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法1運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是_，第二步是，第二步是_，兩步缺一不可，兩步缺一不可2. 用數(shù)學歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關的數(shù)學命題，其中用數(shù)學歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關的數(shù)學命題，其中包括包括_歸納奠基歸納奠基(或遞推基礎或遞推基礎)歸納遞推歸納遞推(或歸納假設或歸納假設) 恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問 題等題等1在用數(shù)學歸納法證明多邊形內角和定理時，第一步應驗在用數(shù)學歸納法證明多邊形內角和定理時，第一步應驗證證()CAn1 時成立時成立Cn3 時

2、成立時成立Bn2 時成立時成立Dn4 時成立時成立解析：解析：多邊形至少有三邊多邊形至少有三邊A3.凸凸 n 邊形有邊形有 f(n)條對角線，則凸條對角線，則凸 n1 邊形有對角線數(shù)邊形有對角線數(shù) f(n1)為為()CAf(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：解析：在在 n 個個頂點的基礎上增加一個頂點則增加頂點的基礎上增加一個頂點則增加 n1 條對條對角線角線Aa1，b3Ca1，b2Ba1，b1Da2，b3答案：答案：D解析：解析：令令 n1,2，得到關于，得到關于 a、b 的方程組，解得即可的方程組，解得即可 14n215考點考點 1對數(shù)學歸納法的兩個步驟的認識對數(shù)學歸

3、納法的兩個步驟的認識例例 1：已知已知 n 是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設是正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設 nk(k2 且為偶數(shù)且為偶數(shù))時命題為真，則還需證明時命題為真，則還需證明()Ank1 時命題成立時命題成立Cn2k2 時命題成立時命題成立 Bnk2 時命題成立時命題成立Dn2(k2)時命題成立時命題成立解題思路：解題思路：從數(shù)學歸納法的兩個步驟切入，從數(shù)學歸納法的兩個步驟切入，k 的下一個偶數(shù)的下一個偶數(shù)是是 k2.解析：解析：因因 n 是正偶數(shù)，是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立，因因 k 的下一個偶數(shù)是的下一個偶數(shù)是 k2.故選故選

4、 B.用數(shù)學歸納法證明時，要注意觀察下列用數(shù)學歸納法證明時，要注意觀察下列幾個方面：幾個方面：(1)n 的范圍以及遞推的起點；的范圍以及遞推的起點；(2)觀察首末兩項的次觀察首末兩項的次數(shù)數(shù)(或其他或其他)，確定，確定 nk 時命題的形式時命題的形式 f(k)；(3)從從 f(k1)和和 f(k)的差異，尋找由的差異，尋找由 k 到到 k1 遞推中，左邊要加遞推中，左邊要加(乘乘)上的式子上的式子nn 24【互動探究互動探究】B(2)用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明不等式1n11n21 13的的過程中，由過程中，由 k 推導到推導到 k 1 時，不等式左邊增加的式子是時，不等式左邊增加的

5、式子是_.1( (2k1)( )(2k2) )( (k1)( )(k1) )，即，即2k2 k1( (2k1)( )(2k2) )解析：解析：求求 f(k1)f(k)即可當即可當 nk 時，左邊時，左邊1 1k1 k21kk.nk1 時，左邊時，左邊1k21k31.故左邊增加的式子是故左邊增加的式子是12k11 1 1.考點考點 2用數(shù)學歸納法證明恒等式命題用數(shù)學歸納法證明恒等式命題例例 2：是否存：是否存在常數(shù)在常數(shù) a、b、c，使等式，使等式 122232n(nn 都成立？證明你的都成立？證明你的1)2n( (n1) )(an2bnc)對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)12結論結論(3k211k10

6、)，(3k211k10)(k1)(k2)2(3k5)(k2)(k1)(k2)2下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當 n1 時，由上面可知等式成立(2)假設 nk 時等式成立，即 122232k(k1)2k(k1)12則 122232k(k1)2(k1)(k2)2k(k1)12k(k1)12k(3k5)12(k2)3(k1)211(k1)102n1( (k1)( )(k2) )12( (k1)( )(k2) )12當當 nk1 時，等式也成立時，等式也成立綜合綜合(1)(2)，對，對 nN*等式都成立等式都成立1131352 用數(shù)用數(shù) 學學 歸納歸納 法法 證明證明 ： n N*時時 ，n1.( (2

7、n1)( )(2n1) )【互動探究互動探究】 ， ，左邊右邊，所以等式成立，左邊右邊，所以等式成立，k 1 k( (2k3) )1證明：證明：(1)當當 n1 時，左邊時，左邊1 113 3右邊右邊121113(2)假設當假設當 nk(kN*)時等式成立，即有時等式成立，即有1131351( (2k1)( )(2k1) )k2k1則當則當 nk1 時，時，1131351( (2k1)( )(2k1) )1( (2k1)( )(2k3) ) 2k1 ( (2k1)( )(2k3) () (2k1)( )(2k3) )2k23k1 k1 k1 ，( (2k1)( )(2k3) ) 2k3 2(

8、(k1) )1所以當所以當 nk1 時，等式也成立時，等式也成立由由(1)(2)可知，對一切可知，對一切 nN*等式都成立等式都成立考點考點 3 3 用數(shù)學歸納法證明不等式命題用數(shù)學歸納法證明不等式命題當當 nk1 時，不等式成立時，不等式成立，由由(1)(2)知知，等式對所有正整數(shù)都成立，等式對所有正整數(shù)都成立(1)用數(shù)學歸納法證明命題，格式嚴謹，必用數(shù)學歸納法證明命題，格式嚴謹，必須嚴格按步驟進行；須嚴格按步驟進行；(2)歸納遞推是證明的難點，應看準歸納遞推是證明的難點，應看準“目標目標”進行變形；進行變形；(3)由由 k 推導到推導到 k1 時，有時可以時，有時可以“套套”用其他證明用其

9、他證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學歸納法方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學歸納法“靈活靈活”的的一面一面8(k1)99(32k+28k9)98k99考點考點 4 4 用數(shù)學歸納法證明整除性命題用數(shù)學歸納法證明整除性命題例例 4：試證：試證：當當 n 為正整數(shù)時，為正整數(shù)時，f(n)32n+28n9 能被能被 64整除整除由于由于 32(k+1)+2即即 f(k1)9f(k)64(k1)，解析：方法一：解析：方法一：(1)當當 n1 時，時，f(1)348964，命題顯然成立命題顯然成立(2)假設當假設當 nk(k1，kN*)時，時，f(k)32k+28k9 能被能被 64 整除整

10、除【互動探究互動探究】3求證：二項式求證：二項式 x2ny2n(nN*)能被能被 xy 整除整除錯源：由錯源：由 nk 變化到變化到 nk1 時理解不透徹時理解不透徹糾錯反思：數(shù)列中的不等式常用的放縮方法有：利用分式糾錯反思：數(shù)列中的不等式常用的放縮方法有：利用分式的性質、利用根式的性質、利用不等式的性質、利用二項展開的性質、利用根式的性質、利用不等式的性質、利用二項展開式、利用函數(shù)的性質等進行放縮式、利用函數(shù)的性質等進行放縮.【互動探究互動探究】“歸納歸納猜想猜想證明證明”是一個完是一個完整的發(fā)整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式，對于探索命題特別有效，要求現(xiàn)問題和解決問題的思維模式，對于探索命

11、題特別有效，要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，敢于提出更一般的結論，最后進行嚴密的論證善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，敢于提出更一般的結論，最后進行嚴密的論證1用數(shù)學歸納法證明問題時應注意：用數(shù)學歸納法證明問題時應注意：第一步驗證第一步驗證 nn0 時，時，n0 并不一定是并不一定是 1；第二步證明的關鍵是要運用歸納假設，特別要弄清由第二步證明的關鍵是要運用歸納假設，特別要弄清由 k到到 k1 時命題的時命題的變化；變化；由假設由假設 nk 時命題成立，證時命題成立，證 nk1 時命題也成立，要時命題也成立，要充分利用歸納假設，要恰當?shù)爻浞掷脷w納假設，要恰當?shù)亍皽悳悺背瞿繕顺瞿繕?用數(shù)學歸納法證明時，從用數(shù)學歸納法證明時，從 nk 到到 nk1 的關鍵是，的關鍵是，要注意初始值，要弄清要注意初始值，要弄清 nk 和和 nk1 時的結論是什么，要有時的結論是什么，要有目標意識，緊盯目標意識，緊盯 nk1 時的結論，對時的結論，對 nk 時的結論進行一系時的結論進行一系列的變形，變形的目標就是列的變形，變形的目標就是 nk1 時的結論，這就是所謂的時的結論，這就是所謂的“湊假設湊假設，湊結論，湊結論”