【數(shù)學(xué)】315《空間向量的數(shù)量積》課件（蘇教版選修2-1）

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1、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)過(guò)程一、幾個(gè)概念一、幾個(gè)概念1 1） 兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義abbaba,0被唯一確定了，并且量的夾角就在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向范圍：bababa互相垂直，并記作：與則稱如果,2,babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點(diǎn)量如圖，已知兩個(gè)非零向O OA AB Baabb2 2）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積注意：注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。babababababababaaaOAa

2、OA,cos,cos,即記作：的數(shù)量積，叫做向量，則已知空間兩個(gè)向量記作：的長(zhǎng)度或模的長(zhǎng)度叫做向量則有向線段設(shè)3 3）射影）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，簡(jiǎn)稱或在上的在軸叫做向量，則上的射影在作點(diǎn)上的射影在點(diǎn)同方向的單位向量。作上與是，和軸已知向量BAleA1B1注意：是軸注意：是軸l l上的正射影上的正射影A A1 1B B1 1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量與它的符號(hào)代表向量與l l的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表在在l l上射影的長(zhǎng)度。上射影的長(zhǎng)度。4)4)空間向量的

3、數(shù)量積性質(zhì)空間向量的數(shù)量積性質(zhì) aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：注意：性質(zhì)性質(zhì)2 2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；）是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)性質(zhì)3 3）是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；）是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；對(duì)于非零向量對(duì)于非零向量 ，有：，有：,a b 5)5)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 注意：注意：分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足結(jié)合律)()cbacba（二、二、 課堂練習(xí)課堂練習(xí)._,2,22,22. 1所夾的角為則已知bababa)()4)()()3)()()

4、()2)(0, 0, 01. 222222qpqpqpqpqpcbacbababa則若）判斷真假：ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11. 3）（計(jì)算：的中點(diǎn)。、分別是、，點(diǎn)等于的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都如圖：已知空間四邊形三三、典型例題典型例題例例1：已知：已知m,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線，直線內(nèi)的兩條相交直線，直線l與與 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為B，且，且lm，ln，求證：，求證：l 分析：由定義可知，只需證分析：由定義可知，只需證l l與平面內(nèi)與平面內(nèi)任意直線任意直線g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要證要證l l與與g g垂直，

5、只需證垂直，只需證l lg g0 0而而m m，n n不平行，由共面向量定理知，不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)(x,y)使得使得 g=xm+yng=xm+yn 要證要證l lg g0,0,只需只需l l g= g= xlxlm+ylm+yln=0n=0而而l lm m0 0 ，l ln n0 0故故 l lg g0 0三三、典型例題典型例題例例1：已知：已知m,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線，直線內(nèi)的兩條相交直線，直線l與與 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為B，且，且lm，ln，求證：，求證：l n nm mgg gmnll l證明：在證明：在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與

6、m m、n n重合的任一條重合的任一條直線直線g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m與與n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x x，y y），），使使 g g=x=xm m+y+yn n, , l lg g=x=xl lm m+y+yl ln n l lm m=0,=0,l ln n=0=0 l lg g=0=0 lglg lglg 這就證明了直線這就證明了直線l l垂直于平面垂直于平面 內(nèi)的內(nèi)的任一條直線，所以任一

7、條直線，所以ll 例例2：已知：在空間四邊形：已知：在空間四邊形OABC中，中，OABC，OBAC，求證：，求證：OCABACOBCBOA，證明：由已知A AB BC CO O 0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以O(shè)AOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以鞏固練習(xí)：利用向量知識(shí)證明三垂線定理利用向量知識(shí)證明三垂線定理aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序?qū)崝?shù)對(duì)定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又

8、而上取非零向量證明：在PAaOAaaPAOAPAPO求證：且內(nèi)的射影，在是的垂線，斜線，分別是平面已知：,例例3 3 如圖，已知線段在平面如圖，已知線段在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段，線段，線段 ，線段，線段， ，如，如果，求、之間的距離。果，求、之間的距離。AC BDAB DD 30DBD ,ABaACBDbCDAB 解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD例例4 4已知在平行六面體

9、中，已知在平行六面體中，, , ,求對(duì)角線的長(zhǎng)。求對(duì)角線的長(zhǎng)。ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 1.1.已知線段已知線段 、在平面、在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段，如果，求、之間的距離，如果，求、之間的距離. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2.2.已知空間

10、四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于 ，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)。，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)。求證：。求證：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)镸NMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，同理，MNCD 3.3.已知空間四邊形已知空間四邊形，求證：。，求證：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB證明：證明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB

11、 OABC4.4.如圖，已知正方體，如圖，已知正方體， 和和 相交于相交于點(diǎn)，連結(jié)點(diǎn)，連結(jié) ，求證：。，求證：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求下列向量的點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積：數(shù)量積：ABCDaEFG、 、ABADDC、(1) (2) (3) AB ACAD DBGF AC ；(4) (5) (6) .EF BCFG BAGE GF ；GFEABCD作業(yè)講評(píng)作業(yè)講評(píng) 課堂小結(jié)課堂小結(jié)1正確分清楚空間向量的夾角。正確分清楚空間向量的夾角。作業(yè)：作業(yè)：P106 4P106 4，2兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。和計(jì)算方法。