高中數(shù)學(xué)必修2教案10_示范教案（2_3_3直線與平面垂直的性質(zhì)）

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1、 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問(wèn)題平面化的典范.空間中直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅是由線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而且將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系，因此直線與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用.本節(jié)重點(diǎn)是在鞏固線線垂直和面面垂直的基礎(chǔ)上，討論直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用. 三維目標(biāo) 1.探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì). 2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用提高邏輯推理的能力. 重點(diǎn)難點(diǎn)

2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用. 課時(shí)安排 1課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí) 直線與平面垂直的定義：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.直線和平面垂直的畫(huà)法及表示如下： 圖1 如圖1，表示方法為：a⊥α. 由直線與平面垂直的定義不難得出：b⊥a. 導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入) 大家都讀過(guò)茅盾先生的《白楊禮贊》，在廣闊的西北平原上，矗立著一排排白楊樹(shù)，它們像哨兵一樣守衛(wèi)著祖國(guó)疆土.一排排的白楊樹(shù)，它們都垂直地面，那么它們之間的位置關(guān)系如何呢？ 思路2.(事例導(dǎo)入) 如圖2，長(zhǎng)方體A

3、BCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？ 圖2 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①回憶空間兩直線平行的定義. ②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系？ ③找出恰當(dāng)空間模型探究同垂直于一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系. ④用三種語(yǔ)言描述直線與平面垂直的性質(zhì)定理. ⑤如何理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理的地位與作用？ 討論結(jié)果：①如果兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，我們說(shuō)這兩條直線平行.它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法. ②如圖3，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是：相交、平行、異面.

4、 圖3 ③如圖4，長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？ 圖4 圖5 棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間互相平行. ④直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言表示為： 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，也可簡(jiǎn)記為線面垂直、線線平行. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語(yǔ)言表示為：b∥a. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語(yǔ)言表示為：如圖5. ⑤直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了平行與垂直

5、之間的內(nèi)在聯(lián)系. 應(yīng)用示例 思路1 例1 證明垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求證：a∥b. 圖6 證明：（反證法）如圖6，假定a與b不平行，且b∩α=O,作直線b′，使O∈b′,a∥b′. 直線b′與直線b確定平面β，設(shè)α∩β=c,則O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β, a∥b′顯然不可能，因此b∥a. 例2 如圖7，已知α∩β=l,EA⊥α于點(diǎn)A,EB⊥β于點(diǎn)B,aα,a⊥AB. 求證:a∥l. 圖7 證明：l⊥平面EAB. 又∵aα,EA⊥α,∴

6、a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l. 思路2 例1 如圖8,已知直線a⊥b，b⊥α，aα. 求證：a∥α. 圖8 證明：在直線a上取一點(diǎn)A，過(guò)A作b′∥b，則b′必與α相交，設(shè)交點(diǎn)為B，過(guò)相交直線a、b′作平面β，設(shè)α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α. 又∵a′α,∴b′⊥a′. 由a，b′，a′都在平面β內(nèi)，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例2 如圖9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn). （1）求證：MN⊥CD； （2）若∠PDA=45°，求證:MN

7、⊥面PCD. 圖9 證明：(1)取PD中點(diǎn)E,又N為PC中點(diǎn),連接NE,則NE∥CD,NE=CD. 又∵AM∥CD,AM=CD, ∴AMNE. ∴四邊形AMNE為平行四邊形. ∴MN∥AE. ∵CD⊥AE. (2)當(dāng)∠PDA=45°時(shí),Rt△PAD為等腰直角三角形, 則AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 變式訓(xùn)練 已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和平面α相交，并且和a、b、c三條直線成等角.求證：l⊥α. 證明：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過(guò)O，在l上取

8、一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中， ∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB的中點(diǎn)D, 連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO平面POD,∴PO⊥AB. 同理,可證PO⊥BC. ∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α. 若l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，可經(jīng)過(guò)點(diǎn)O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α， ∴l(xiāng)⊥α. 知能訓(xùn)練 如圖10，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a, （1）求證：BD1⊥平面B1AC; （

9、2）求B到平面B1AC的距離. 圖10 （1）證明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1. 又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1. ∵B1B⊥AC，BD⊥AC, ∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1. ∴BD1⊥平面B1AC. （2）解:∵O∈BD,∴連接OB1交BD1于E. 又O∈AC，∴OB1面B1AC. ∴BE⊥OE，且BE即為所求距離. ∵,∴BE=·OB=. 拓展提升 已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α內(nèi)，AB∶CD=4∶6，AB到α的距離為10 cm，求梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O到α的距離.

10、 圖11 解：如圖所示，過(guò)B作BE⊥α交α于點(diǎn)E，連接DE, 過(guò)O作OF⊥DE交DE于點(diǎn)F, ∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α, ∴BE即為AB到α的距離，BE=10 cm且∠BED=90°. ∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得. ∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD. ∴，得. 又，BE=10 cm, ∴OF=×10=6（cm）. ∵OF∥BE，BE⊥α. ∴OF⊥α，即OF即為所求距離為6 cm. 課堂小結(jié) 知識(shí)總結(jié)：利用線面垂直的性質(zhì)定理將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線平行，然后解決證明垂直問(wèn)題、平行問(wèn)題、求角問(wèn)題、求距離問(wèn)題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 作業(yè) 課本習(xí)題2.3 B 組1、2. 設(shè)計(jì)感想 線面關(guān)系是線線關(guān)系和面面關(guān)系的橋梁和紐帶，空間中直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅是由線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而且將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系，因此直線與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重點(diǎn).本節(jié)不僅選用了大量經(jīng)典好題，還選用了大量的2007高考模擬題，相信能夠幫助大家解決立體幾何中的重點(diǎn)難點(diǎn)問(wèn)題.