《高中數(shù)學(xué)必修2教案10_示范教案（2_3_3直線與平面垂直的性質(zhì)）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)必修2教案10_示范教案（2_3_3直線與平面垂直的性質(zhì)）（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅是由線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而且將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系，因此直線與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用.本節(jié)重點(diǎn)是在鞏固線線垂直和面面垂直的基礎(chǔ)上，討論直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.
三維目標(biāo)
1.探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì).
2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用提高邏輯推理的能力.
重點(diǎn)難點(diǎn)
2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用.
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)
直線與平面垂直的定義：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個(gè)平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.直線和平面垂直的畫法及表示如下：
圖1
如圖1，表示方法為：a⊥α.
由直線與平面垂直的定義不難得出：b⊥a.
導(dǎo)入新課
思路1.(情境導(dǎo)入)
大家都讀過茅盾先生的《白楊禮贊》，在廣闊的西北平原上，矗立著一排排白楊樹，它們像哨兵一樣守衛(wèi)著祖國疆土.一排排的白楊樹，它們都垂直地面，那么它們之間的位置關(guān)系如何呢？
思路2.(事例導(dǎo)入)
如圖2，長(zhǎng)方體A
3、BCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？
圖2
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
①回憶空間兩直線平行的定義.
②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系？
③找出恰當(dāng)空間模型探究同垂直于一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系.
④用三種語言描述直線與平面垂直的性質(zhì)定理.
⑤如何理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理的地位與作用？
討論結(jié)果：①如果兩條直線沒有公共點(diǎn)，我們說這兩條直線平行.它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法.
②如圖3，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是：相交、平行、異面.
4、
圖3
③如圖4，長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？
圖4 圖5
棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間互相平行.
④直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言表示為：
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，也可簡(jiǎn)記為線面垂直、線線平行.
直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語言表示為：b∥a.
直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖5.
⑤直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了平行與垂直
5、之間的內(nèi)在聯(lián)系.
應(yīng)用示例
思路1
例1 證明垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求證：a∥b.
圖6
證明：（反證法）如圖6，假定a與b不平行，且b∩α=O,作直線b′，使O∈b′,a∥b′.
直線b′與直線b確定平面β，設(shè)α∩β=c,則O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′顯然不可能，因此b∥a.
例2 如圖7，已知α∩β=l,EA⊥α于點(diǎn)A,EB⊥β于點(diǎn)B,aα,a⊥AB.
求證:a∥l.
圖7
證明：l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴
6、a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
思路2
例1 如圖8,已知直線a⊥b，b⊥α，aα.
求證：a∥α.
圖8
證明：在直線a上取一點(diǎn)A，過A作b′∥b，則b′必與α相交，設(shè)交點(diǎn)為B，過相交直線a、b′作平面β，設(shè)α∩β=a′,
∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a，b′，a′都在平面β內(nèi)，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例2 如圖9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求證:MN
7、⊥面PCD.
圖9
證明：(1)取PD中點(diǎn)E,又N為PC中點(diǎn),連接NE,則NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四邊形AMNE為平行四邊形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)當(dāng)∠PDA=45°時(shí),Rt△PAD為等腰直角三角形,
則AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
變式訓(xùn)練
已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和平面α相交，并且和a、b、c三條直線成等角.求證：l⊥α.
證明：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O，在l上取
8、一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中點(diǎn)D,
連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可證PO⊥BC.
∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.
若l不經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，可經(jīng)過點(diǎn)O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α，
∴l(xiāng)⊥α.
知能訓(xùn)練
如圖10，已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,
（1）求證：BD1⊥平面B1AC;
（
9、2）求B到平面B1AC的距離.
圖10
（1）證明：∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C,∴B1C⊥面ABC1D1.
又BD1面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC，BD⊥AC,
∴AC⊥面BB1D1D.又BD1面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∴BD1⊥平面B1AC.
（2）解:∵O∈BD,∴連接OB1交BD1于E.
又O∈AC，∴OB1面B1AC.
∴BE⊥OE，且BE即為所求距離.
∵,∴BE=·OB=.
拓展提升
已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α內(nèi)，AB∶CD=4∶6，AB到α的距離為10 cm，求梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O到α的距離.
10、
圖11
解：如圖所示，過B作BE⊥α交α于點(diǎn)E，連接DE,
過O作OF⊥DE交DE于點(diǎn)F,
∵AB∥CD，ABα，CDα，∴AB∥α.又BE⊥α,
∴BE即為AB到α的距離，BE=10 cm且∠BED=90°.
∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得.
∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.
∴，得.
又，BE=10 cm,
∴OF=×10=6（cm）.
∵OF∥BE，BE⊥α.
∴OF⊥α，即OF即為所求距離為6 cm.
課堂小結(jié)
知識(shí)總結(jié)：利用線面垂直的性質(zhì)定理將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線平行，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.
思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.
作業(yè)
課本習(xí)題2.3 B 組1、2.
設(shè)計(jì)感想
線面關(guān)系是線線關(guān)系和面面關(guān)系的橋梁和紐帶，空間中直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅是由線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而且將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系，因此直線與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重點(diǎn).本節(jié)不僅選用了大量經(jīng)典好題，還選用了大量的2007高考模擬題，相信能夠幫助大家解決立體幾何中的重點(diǎn)難點(diǎn)問題.
高中數(shù)學(xué)必修2教案10_示范教案（2_3_3直線與平面垂直的性質(zhì)）
