高考數學復習 17-18版 附加題部分 第3章 第66課 拋物線的幾何性質及直線與拋物線的位置關系

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1、 第66課 拋物線的幾何性質及直線與拋物線的位置關系 [最新考綱] 內容 要求 A B C 頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質 √ 1．拋物線的幾何性質 (1)焦半徑： 拋物線上一點到焦點的距離稱為焦半徑． y2＝2px(p>0)上的點M(x0，y0)的焦半徑為r＝＋x0， y2＝－2px(p>0)上的點M(x0，y0)的焦半徑為r＝－x0， x2＝2py(p>0)上的點M(x0，y0)的焦半徑為r＝＋y0， x2＝－2py(p>0)上的點M(x0，y0)的焦半徑為r＝－y0. (2)焦點弦長： 已知拋物線y2＝2px(p>0)，過

2、其焦點的直線交拋物線于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有以下性質： ①AB＝x1＋x2＋p或AB＝(α為弦AB的傾斜角)； ②y1y2＝－p2； ③x1x2＝. 2．直線與拋物線的位置關系 (1)位置關系的判定： 聯(lián)立直線l：y＝kx＋m和拋物線y2＝2px(p>0)消y整理得： k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. 當k≠0時， ①Δ>0?直線與拋物線相交，有兩個不同公共交點； ②Δ＝0?直線與拋物線相切，只有一個公共交點； ③Δ<0?直線與拋物線相離，沒有公共交點． 當k＝0時，則直線是拋物線的對稱軸或與對稱軸平行的直線，此時直線與拋物線相交，

3、只有一個公共交點． (2)弦長公式： 若直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝. 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線與拋物線有且只有一個公共點，則直線與拋物線相切．(　　) (2)過點(0,1)且與拋物線y2＝x相切的直線有且只有一條．(　　) (3)過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.(　　) (4)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45

4、°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則拋物線的方程為____________． y2＝4x　[由題意可知過焦點的直線方程為y＝x－，由?x2－3px＋＝0， 所以AB＝＝8?p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x.] 3．如果雙曲線－＝1的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率為____________． 　[以雙曲線的漸近線y＝x為例．若與拋物線y＝x2＋1相切，聯(lián)立方程組得x＝x2＋1，即x2－x＋1＝0，令Δ＝0，得2＝4，所以e＝＝.] 4．(教材改編)曲線－x＝0上一點P到直線y＝x＋3的最短距離為____________． 　[設p(x，y)

5、，由點到直線的距離公式得d＝＝＝，所以dmin＝.] 5．(2017·南京模擬)已知以F為焦點的拋物線y2＝4x上的兩點A，B滿足AF＝3FB，則弦AB的中點到準線的距離為____________． 　[如圖，設BF＝m，由拋物線的定義知AA1＝3m，BB1＝m，在△ABC中，AC＝2m，AB＝4m，kAB＝， 則直線AB的方程為y＝(x－1)， 與拋物線的方程聯(lián)立消去y，得3x2－10x＋3＝0， 所以AB的中點到準線的距離為＋1＝＋1＝.] 直線與拋物線的位置關系 角度1　直線與拋物線的交點問題 　(2016·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)

6、交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關于點P的對稱點， 故N， 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝

7、2t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點． [規(guī)律方法]　1.(1)本題求解的關鍵是求出點N，H的坐標．(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據方程組的解的個數進行判斷． 2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數時，可直接求解相應方程組得到交點坐標，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數不為0.(2)解題時注意應用根與系數的關系及設而不求、整體代換的技巧． [變式訓練1]　(2016·江蘇高考改編)如圖66-1，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(

8、p>0)． (1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； (2)當p＝1時，若拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求線段PQ的中點M的坐標． 圖66-1 [解]　(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為. 由點在直線l：x－y－2＝0上， 得－0－2＝0，即p＝4. 所以拋物線C的方程為y2＝8x. (2)當p＝1時，曲線C：y2＝2x. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0)． 因為點P和Q關于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ， 于是直線PQ的斜率為－1，則可設其方程為y＝－x＋b. 由消去x，得y2＋2y

9、－2b＝0.(*) 因為P和Q是拋物線l的兩相異點，則y1≠y2. 從而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(**) 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1. 又M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1. 所以點M(1，－1)，此時b＝0滿足(**)式． 故線段PQ的中點M的坐標為(1，－1). 與拋物線弦長或中點有關的問題 　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且OP＝PB，求△FAB

10、的面積. 【導學號：62172350】 [解]　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·FM·

11、|y1－y2| ＝3＝24. [規(guī)律方法]　1.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． 2．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求”“整體代入”等方法． 3．涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解． [變式訓練2]　已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

12、 [解]　(1)由題意得直線AB的方程為y＝2， 與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0， 所以x1＋x2＝. 由拋物線定義得AB＝x1＋x2＋p＝＋p＝9， 所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x. (2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4， 從而A(1，－2)，B(4,4)． 設C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)． 又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

13、與拋物線有關的定點定值問題 角度1　定點問題 　已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點． (1)求拋物線C的方程； (2)若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點． [解]　(1)因為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為(1,0)，所以＝1，所以p＝2. 所以拋物線C的方程為y2＝4x. (2)證明：a.當直線AB的斜率不存在時，設A，B. 因為直線OA，OB的斜率之積為－， 所以·＝－，化簡得t2＝32. 所以A(8，t)，B(8，－t)，此時直線AB的方程為x＝8. b．當直線AB的

14、斜率存在時，設其方程為y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立化簡得ky2－4y＋4b＝0. 根據根與系數的關系得yAyB＝，因為直線OA，OB的斜率之積為－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0. 即·＋2yAyB＝0， 解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)． 綜上所述，直線AB過定點(8,0)． 角度2　定值問題 　如圖66-2，已知拋物線C：x2＝4y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標原點)． (1)證明：動

15、點D在定直線上； (2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2，證明：MN－MN為定值，并求此定值. 【導學號：62172351】 圖66-2 [解]　(1)證明：依題意可設AB方程為y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8. 直線AO的方程為y＝x；BD的方程為x＝x2. 解得交點D的坐標為 注意到x1x2＝－8及x＝4y1， 則有y＝＝＝－2. 因此D點在定直線y＝－2上(x≠0)． (2)依題設，切線l的斜率存在且不等

16、于0，設切線l的方程為y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化簡整理得b＝－a2. 故切線l的方程可寫為y＝ax－a2. 分別令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐標為 N1，N2， 則MN－MN＝2＋42－2＝8， 即MN－MN為定值8. [規(guī)律方法]　1.定值問題的求解流程 ―→ ―→ ―→ 2．直線y＝kx＋b恒過定點時，常找k與b的等量關系；曲線恒過定點時，常采用變量分離法，即把原曲線方程化成f(x)＋bg(x)＝0的形式，先由求交點，交點即為定點． [思想與方

17、法] 1．過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦稱為拋物線的通徑，其長度等于2p，它是過焦點的弦中長度最短的．拋物線的焦點到頂點、頂點到準線的距離為，焦點到準線的距離為p. 2．求定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關． (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 3．定點的探索與證明問題 (1)探索直線過定點時，可設出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b、k等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點． (2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關． [易錯與防范] 1．在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別

18、注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況． 2．中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證Δ>0或說明中點在曲線內部． 3．解決定值、定點問題，不要忘記特值法． 課時分層訓練(十) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，它與圓x2＋y2＝9相交，公共弦MN的長為2，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點坐標與準線方程． [解]　由題意，設拋物線方程為x2＝2ay(a≠0)． 設公共弦MN交y軸于A，則MA＝AN， 且AN＝. ∵ON＝3，∴OA＝＝2， ∴N(，±2)． ∵N點在拋物線上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±， 故拋物線

19、的方程為x2＝y(tǒng)或x2＝－y. 拋物線x2＝y(tǒng)的焦點坐標為， 準線方程為y＝－. 拋物線x2＝－y的焦點坐標為， 準線方程為y＝. 2．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點C(－2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，·＝12. (1)求拋物線的方程； (2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程． [解]　(1)設l：x＝my－2，代入y2＝2px中， 得y2－2pmy＋4p＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p， 則x1x2＝＝4， 因為·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2， 則拋物線

20、的方程為y2＝4x. (2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 設AB的中點為M， 則AB＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.① 又AB＝|y1－y2|＝.② 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±， 所以直線l的方程為x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0. 3．(2017·徐州模擬)在平面直角坐標系xOy中，設點F，直線l：x＝－，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l. (1)求動點Q的軌跡方程C； (2)設圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓

21、M在y軸上截得的弦，當M運動時，弦長TS是否為定值？請說明理由. 【導學號：62172352】 [解]　(1)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP， 所以RQ是線段FP的垂直平分線． 因為|PQ|是點Q到直線l的距離．點Q在線段FP的垂直平分線上，所以PQ＝QF. 故動點Q的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y2＝2x(x>0)． (2)弦長TS為定值．理由如下：取曲線C上一點M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0， 圓的半徑r＝MA＝， 則TS＝2 ＝2， 因為點M在曲線C上，所以x0＝， 所以TS＝2＝2，是定值． 4．(2017·蘇北

22、四市摸底)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)過點(2,1)，直線l過點P(0，－1)與拋物線C交于A，B兩點．點A關于y軸的對稱點為A′，連結A′B. 圖66-3 (1)求拋物線C的標準方程； (2)問直線A′B是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由． [解]　(1)將點(2,1)代入拋物線C：x2＝2py的方程得，p＝2. 所以，拋物線C的標準方程為x2＝4y. (2)設直線l的方程為y＝kx－1，又設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′(－x1，y1)． 由得x2－4kx＋4＝0. 則Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k. 所以

23、kA′B＝＝＝. 于是直線A′B的方程為y－＝(x－x2)． 所以y＝(x－x2)＋＝x＋1. 當x＝0時，y＝1， 所以直線A′B過定點(0,1)． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·泰州模擬)如圖66-4，拋物線關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上． 圖66-4 (1)求拋物線的方程； (2)若∠APB的平分線垂直于y軸，求證：直線AB的斜率為定值. 【導學號：62172353】 [解]　(1)由已知條件可設拋物線的方程為x2＝2py(p>0)． 因為點P(2,1)在拋物線上，

24、 所以22＝2p·1，解得p＝2， 故所求拋物線的方程是x2＝4y. (2)由題知kAP＋kBP＝0， 所以＋＝0， 所以＋＝0， 所以＋＝0， 所以x1＋x2＝－4， 所以kAB＝＝＝＝－1，所以直線AB的斜率為定值． 2．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點． (1)若＝2 ，求直線AB的斜率； (2)設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值． [解]　(1)依題意知F(1,0)，設直線AB的方程為x＝my＋1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得 y2－4my－4＝0. 設A(x1，y

25、1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 因為＝2 ，所以y1＝－2y2. 聯(lián)立上述三式，消去y1，y2得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2. (2)由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點， 從而點O與點C到直線AB的距離相等， 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因為2S△AOB＝2×·OF·|y1－y2| ＝＝4， 所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4. 3．(2017·揚州模擬)如圖66-5，在平面直角坐標系xOy中，點A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在拋物線y2＝2px(p>0)上． 圖66

26、-5 (1)求p，t的值； (2)過點P作PM⊥x軸，垂足為M，直線AM與拋物線的另一個交點為B，點C在直線AM上．若PA，PB，PC的斜率分別為k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求點C的坐標． [解]　(1)將點A(8，－4)代入y2＝2px中得p＝1，所以拋物線的方程為y2＝2x. 將點P(2，t)代入y2＝2x中得t＝±2. 因為t<0，所以t＝－2. (2)依題意知點M的坐標為(2,0)， 直線AM的方程為y＝－x＋. 聯(lián)立解得B， 所以k1＝－，k2＝－2. 由k1＋k2＝2k3，得k3＝－， 從而直線PC的方程為y＝－x＋， 聯(lián)立解得C. 4．(20

27、16·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程． [解]　由題意知F， 設直線l1的方程為y＝a，直線l2的方程為y＝b， 則ab≠0，且A，B，P，Q，R. 記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2. 所以AR∥FQ. (2)設l與x軸的交點為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a|FD＝|b－a|，S△PQF＝. 由題意可得|b－a|＝， 所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 設滿足條件的AB的中點為E(x，y)． 當AB與x軸不垂直時， 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標為(1,0)，滿足方程y2＝x－1. 所以，所求的軌跡方程為y2＝x－1.