高考數學專題復習練習第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切

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1、 第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切 一、選擇題 1. 已知銳角α滿足cos 2α＝cos ，則sin 2α等于(　　) A.　　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析 由cos 2α＝cos 得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α) 由α為銳角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝. ∴sin 2α＝. 答案 A 2．若＝，則tan 2α等于 (　　

2、)． A. B．－ C. D．－ 解析?。剑剑?， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－，故選D. 答案　D 3．已知α，β都是銳角，若sin α＝，sin β＝，則α＋β＝ (　　)． A. B. C.和 D．－和－ 解析　由α，β都為銳角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝. 答案　A 4．已知sin θ＋cos θ＝，則sin θ－cos θ的值為 (　　)．

3、 A. B．－ C. D．－ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，∴sin 2θ＝，又0<θ<，∴sin θ

4、(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　cos＋sin α＝?sin α＋cos α ＝?sin＝， 所以sin＝－sin＝－. 答案　C 二、填空題 7．已知cos ＝，α∈，則cos α＝________. 解析 ∵α∈，∴α＋∈， ∴sin ＝. 故cos α＝cos [－] ＝cos cos＋sin sin ＝×＋×＝. 答案 8．設α為銳角，若cos＝，則 sin的值為________． 解析　∵α為銳角且cos＝， ∴α＋∈，∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sin 2cos

5、 －cos 2sin ＝sincos－ ＝××－＝－＝. 答案　 9．函數f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 解析　∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)min＝1－. 答案　1－ 10．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的兩根為tan A，tan B，且A，B∈，則A＋B＝________. 解析　由題意知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan A·tan B＝3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0， tan(A＋B)＝＝＝1. ∵A，B∈，∴A，B∈， ∴A＋B

6、∈(－π，0)，∴A＋B＝－. 答案　－ 三、解答題 11．已知函數f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，x∈R. (1)求函數f(x)的最小正周期； (2)求函數f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數．又f＝－1，f＝，f＝1，故函數f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－1. 12．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin

7、＝，β∈. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． 解　(1)由題意得(sin α＋cos α)2＝， 即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝. 又2α∈，∴cos 2α＝＝， ∴tan 2α＝＝. (2)∵β∈，β－∈，sin＝， ∴cos＝， 于是sin 2＝2sincos＝. 又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－， 又2β∈，∴sin 2β＝， 又cos2α＝＝，α∈， ∴cos α＝，sin α＝. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝×－×＝－. 13．函數f(x)＝6

8、cos2＋ sin ωx－3(ω＞0)在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形． (1)求ω的值及函數f(x)的值域； (2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值． 解　(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ sin ωx ＝2sin， 又正三角形ABC的高為2，從而BC＝4， 所以函數f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝. 函數f(x)的值域為[－2，2]． (2)因為f(x0)＝， 由(1)有f(x0)＝2sin＝， 即sin＝. 由x0∈，知＋∈， 所以cos＝ ＝. 故f(x0＋1)＝2

9、sin ＝2sin ＝2 ＝2×＝. 14．(1)①證明兩角和的余弦公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C(α＋β)推導兩角和的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈， 求cos(α＋β)． 解 (1)證明?、偃鐖D，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與－β，使角α的始邊為Ox軸非負半軸，交⊙O于點P1，終邊交⊙O于點P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點P3，角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點P4. 則P

10、1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))． 由P1P3＝P2P4及兩點間的距離公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展開并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ②由①易得，cos＝sin α， sin＝cos α. sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝coscos(－β)－sinsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－. ∵β∈，tan β＝－， ∴cos β＝－，sin β＝. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝.