2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 熱點探究課3 數(shù)列中的高考熱點問題

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1、 熱點探究課(三) 數(shù)列中的高考熱點問題 [命題解讀]　數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中既具有獨立性，又具有較強(qiáng)的綜合性，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點，從近五年全國卷高考試題來看，解答題第1題(全國卷T17)交替考查數(shù)列與解三角形，本專題的熱點題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項與求和；三是數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯，難度中等． 熱點1　等差、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩種數(shù)列的項之間的關(guān)系，并注重方程思想的應(yīng)用，等差(比)數(shù)列共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”． 　(2016·天津高考)已知{an}是等比數(shù)列，

2、前n項和為Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中項，求數(shù)列{(－1)nb}的前2n項和． [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由已知，有－＝， 解得q＝2或q＝－1.2分 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1， 所以a1·＝63，得a1＝1. 所以an＝2n－1.5分 (2)由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1) ＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首項為，公差為1的等差數(shù)列.8分 設(shè)數(shù)列{(－1)nb}的前n項和為Tn，則 T2

3、n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝＝2n2.10分 [規(guī)律方法]　1.若{an}是等差數(shù)列，則{ban}(b>0，且b≠1)是等比數(shù)列；若{an}是正項等比數(shù)列，則{logban}(b>0，且b≠1)是等差數(shù)列． 2．對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，以便實現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化． [對點訓(xùn)練1]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)a1>0，λ＝100.當(dāng)n為何值時，數(shù)列的

4、前n項和最大？ [解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若a1＝0，則Sn＝0. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以an＝0(n≥1).2分 若a1≠0，則a1＝. 當(dāng)n≥2時，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1， 兩式相減得2an－2an－1＝an， 所以an＝2an－1(n≥2)，從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列， 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝. 綜上，當(dāng)a1＝0時，an＝0；當(dāng)a1≠0時，an＝.5分 (2)當(dāng)a1>0，且λ＝100時，令bn＝lg， 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2.7分 所以數(shù)

5、列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為－lg 2. b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0， 當(dāng)n≥7時，bn≤b7＝lg＝lg

6、代入anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得出數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，再求{bn}的前n項和． [規(guī)范解答]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.3分 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，通項公式為an＝3n－1.5分 (2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，7分 因此{(lán)bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列.9分 記{bn}的前n項和為Sn， 則Sn＝＝－.12分 [答題模板]　第一步：求出{an}的首項a1； 第二步：求出{an}的通項公式； 第三步：判定{bn}為等比數(shù)列； 第四步：求出{bn}的前n項和； 第五

7、步：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點注意解題規(guī)范． [溫馨提示]　若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”．首項與公差是等差數(shù)列的“基本量”，首項與公比是等比數(shù)列的“基本量”．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法． [對點訓(xùn)練2]　數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*. 【導(dǎo)學(xué)號：01772193】 (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)設(shè)bn＝3n·，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解]　(1)證明：由已知可得＝＋1，2分 即－＝1. 所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列.5分 (2)由(1)得＝1

8、＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.7分 從而bn＝n·3n. Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.② ①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1 ＝－n·3n＋1＝. 所以Sn＝.12分 熱點3　數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯 數(shù)列與函數(shù)的交匯一般體現(xiàn)在兩個方面：一是以數(shù)列的特征量n，an，Sn等為坐標(biāo)的點在函數(shù)圖象上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；二是數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題． 數(shù)列與不等式的交匯考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列中的一些不等關(guān)系；

9、二是以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立問題；三是考查與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明． ?角度1　數(shù)列與函數(shù)的交匯 　(2016·湖北七市4月聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋2n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若點(bn，an)在函數(shù)y＝log2 x的圖象上，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號：01772194】 [解]　(1)當(dāng)n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4＝4×1， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n.5分 (2)由點(bn，an)在函數(shù)y＝log2

10、 x的圖象上得an＝log2bn，且an＝4n，所以bn＝2an＝24n＝16n，8分 故數(shù)列{bn}是以16為首項，公比為16的等比數(shù)列． Tn＝＝.12分 [規(guī)律方法]　解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理． ?角度2　數(shù)列與不等式的交匯 　(2015·安徽高考)設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，

11、證明：Tn≥. [解]　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1).2分 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標(biāo)xn＝1－＝， 所以數(shù)列{xn}的通項公式xn＝.5分 (2)證明：由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知， Tn＝xx…x＝22…2.7分 當(dāng)n＝1時，T1＝. 當(dāng)n≥2時，因為x＝2＝>＝＝，10分 所以Tn>2×××…×＝. 綜上可得，對任意的n∈N*，均有Tn≥.12分 [規(guī)律方法]　解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等．總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了．