《高中數(shù)學(xué)必修3教案：5_備課資料（3_2_2（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)（random numbers）的產(chǎn)生）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)必修3教案：5_備課資料（3_2_2（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)（random numbers）的產(chǎn)生）（2頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
備課資料
1.蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）
蒙特卡羅(Monte Carlo)方法,或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法,是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法.這一方法源于美國(guó)在第一次世界大戰(zhàn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”.該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城——摩納哥的Monte Carlo——來(lái)命名這種方法,為它蒙上了一層神秘色彩.
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用.早在17世紀(jì),人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”.19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)決定圓周率π.本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),特別是近年
2、來(lái)高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能.
考慮平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部的一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”,如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？Monte Carlo方法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲N個(gè)點(diǎn)落于“圖形”內(nèi),則該“圖形”的面積近似為M/N.
可用民意測(cè)驗(yàn)來(lái)作一個(gè)不嚴(yán)格的比喻.民意測(cè)驗(yàn)的人不是征詢每一個(gè)登記選民的意見(jiàn),而是通過(guò)對(duì)選民進(jìn)行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來(lái)確定可能的優(yōu)勝者.其基本思想是一樣的.
科技計(jì)算中的問(wèn)題比這要復(fù)雜得多.比如金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價(jià)及交易風(fēng)險(xiǎn)估算,問(wèn)題的維
3、數(shù)（即變量的個(gè)數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千.對(duì)這類問(wèn)題,難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng),這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(Course Dimensionality),傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對(duì)付（即使使用速度最快的計(jì)算機(jī)）.Monte Carlo方法能很好地用來(lái)對(duì)付維數(shù)的災(zāi)難,因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù).以前那些本來(lái)是無(wú)法計(jì)算的問(wèn)題現(xiàn)在也能夠計(jì)算了.為提高方法的效率,科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧.
另一類形式與Monte Carlo方法相似,但理論基礎(chǔ)不同的方法——“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)——近年來(lái)也獲得迅速發(fā)展.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的“
4、華—王”方法即是其中的一例.這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學(xué)上稱為L(zhǎng)ow Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的隨機(jī)數(shù)序列.對(duì)某些問(wèn)題該方法的實(shí)際速度一般可比Monte Carlo方法提出高數(shù)百倍,并可計(jì)算精確度.
蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算物理學(xué)(如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.
2.蒙特卡羅方法的基本原理
由概率定義知,某事件的概率可以用大量試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率來(lái)估算,當(dāng)樣本容量足夠大時(shí),可以認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率.因此,可以先對(duì)影響其可靠度的隨機(jī)變
5、量進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣,然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數(shù)式,確定結(jié)構(gòu)是否失效,最后從中求得結(jié)構(gòu)的失效概率.蒙特卡羅法正是基于此思路進(jìn)行分析的.
設(shè)有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi(i=1,2,3,…,k),其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為fx1,fx2,…,fxk,功能函數(shù)式為Z=g(x1,x2,…,xk).
各隨機(jī)變量的相應(yīng)分布,產(chǎn)生N組隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xk值,計(jì)算功能函數(shù)值Zi=g(x1,x2,…,xk)(i=1,2,…,N),若其中有L組隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值Zi≤0,則當(dāng)N→∞時(shí),根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨機(jī)變量的特性有：結(jié)構(gòu)失效概率,可靠指標(biāo).
從蒙特卡羅方
6、法的思路可看出,該方法回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難,不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機(jī)變量是否非正態(tài),只要模擬的次數(shù)足夠多,就可得到一個(gè)比較精確的失效概率和可靠度指標(biāo).特別在巖土體分析中,變異系數(shù)往往較大,與JC法計(jì)算的可靠指標(biāo)相比,結(jié)果更為精確,并且由于思路簡(jiǎn)單易于編制程序.
3.蒙特卡羅方法的工作過(guò)程
在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候應(yīng)用蒙特·卡羅方法主要有兩部分工作：
·用蒙特卡羅方法模擬某一過(guò)程時(shí),需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量.
·用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)出來(lái),從而得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值解.
4.蒙特卡羅方法分子模擬計(jì)算的步驟
使用蒙特卡羅方法進(jìn)行分子模擬計(jì)算是按照以
7、下步驟進(jìn)行的：
★使用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的分子構(gòu)型.
對(duì)此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)作無(wú)規(guī)則的改變,產(chǎn)生一個(gè)新的分子構(gòu)型.
計(jì)算新的分子構(gòu)型的能量.
★比較新的分子構(gòu)型與改變前的分子構(gòu)型的能量,判斷是否接受該構(gòu)型.
★若新的分子構(gòu)型能量低于原分子構(gòu)型的能量,則接受新的構(gòu)型,使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代.
★若新的分子構(gòu)型能量高于原分子構(gòu)型的能量,則計(jì)算玻爾茲曼常數(shù),同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù).
★若這個(gè)隨機(jī)數(shù)大于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子,則放棄這個(gè)構(gòu)型,重新計(jì)算.
★若這個(gè)隨機(jī)數(shù)小于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子,則接受這個(gè)構(gòu)型,使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代.
★如此進(jìn)行迭代計(jì)算,直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)束.
5.蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
通常蒙特卡羅方法通過(guò)構(gòu)造符合一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問(wèn)題.對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題,蒙特卡羅方法是一種有效地求出數(shù)值解的方法.一般蒙特卡羅方法在數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的應(yīng)用就是蒙特·卡羅積分.
（設(shè)計(jì)者：劉玉亭）
高中數(shù)學(xué)必修3教案：5_備課資料（3_2_2（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)（random numbers）的產(chǎn)生）
