高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

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1、 第五章　三角函數(shù)、解三角形 第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 三角函數(shù)的概念 √ 1.角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2.弧度制的定義和公式 (1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，弧度記作rad. (2)公式：①角度與弧度的換算： a.1°＝ rad；b.1 rad＝°.

2、 ②弧長(zhǎng)公式：l＝r|α|. ③扇形面積公式：S＝lr＝r2α. 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，記作sin α x叫作α的余弦，記作cos α 叫作α的正切，記作tan α 各象限符號(hào) Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)小于90

3、°的角是銳角．(　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)角α的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．(　　) (4)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin α＝________. ±　[由題意知|r|2＝2＋y2＝1，所以y＝±.由三角函數(shù)定義知sin α＝y(tǒng)＝±.] 3.若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，則角θ的終邊在第________象限． 四　[由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，則角

4、θ的終邊在第四象限．] 4.在單位圓中，200°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為________． π　[單位圓的半徑r＝1,200°的弧度數(shù)是200×＝π，由弧度數(shù)的定義得π＝，所以l＝π.] 5.已知半徑為120 mm的圓上，有一條弧長(zhǎng)是144 mm，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為________rad. 1.2　[由題意知α＝＝＝1.2 rad.] 角的有關(guān)概念及其集合表示 　(1)若角α是第二象限角，則是第________象限角. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172118】 (2)已知角α的終邊在如圖21-1所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________．

5、 圖21-1 (1)一或三　(2)(k∈Z)　[(1)∵α是第二象限角， ∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． (2)在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為， ∴所求角的集合為(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.與角α終邊相同的角可以表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等；角度制與弧度制不能混用． 2．由α所在象限，判定所在象限，應(yīng)先確定的范圍，并對(duì)整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論． [變式訓(xùn)練1]

6、　已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. －675°或－315°　[由終邊相同的角的關(guān)系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.] 扇形的弧長(zhǎng)、面積公式 　(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角； (2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172119】 [解]　(1)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則 解得(舍去)或 ∴扇形的圓心角為. (2)設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r

7、)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax＝100，此時(shí)2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形的面積最大． [規(guī)律方法]　1.(1)在弧度制下，計(jì)算扇形面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷；(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問題(如本例)或不等式問題來求解． 2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝lR；(3)S＝αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，α(0＜α＜2π)為圓心角，S是扇形面積，知道兩個(gè)量，可求其余量． [變式訓(xùn)練2]　若扇形的圓心角α＝120°，弦長(zhǎng)AB＝12 cm，則弧長(zhǎng)l＝

8、________cm. π　[設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖． 由sin 60°＝，得r＝4 cm， ∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝π cm.] 三角函數(shù)的定義 　(1)若tan α＞0，則下列說法正確的是________．(填序號(hào)) ①sin α＞0；②cos α＞0；③sin 2α＞0；④cos 2α＞0. (2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(－，a)，若點(diǎn)A在拋物線y＝－x2的準(zhǔn)線上，則sin α＝________. (1)③　(2) [(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，當(dāng)α是第一象限角時(shí)，sin 2α＝2sin αcos α＞0；當(dāng)α是第三象限角時(shí)，sin

9、 α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故③正確． (2)拋物線方程y＝－x2可化為x2＝－4y， ∴拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1. ∵點(diǎn)A在拋物線y＝－x2的準(zhǔn)線上， ∴A(－，1)，由三角函數(shù)的定義得sin α＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況． (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解； (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題． 2．確定三角函數(shù)值的符號(hào)，可以從確定角的終邊所在象限入手進(jìn)行判斷

10、． [變式訓(xùn)練3]　(1)設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos α＝x，則tan 2α＝________. (2)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． (1)　(2)(k∈Z)　[(1)由三角函數(shù)的定義可得cos α＝. ∵cos α＝x，∴＝x， 又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x＝－3， ∴cos α＝－，sin α＝＝， ∴tan α＝＝－，∴tan 2α＝＝. (2)∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z)．] [思想與方法] 1．在利用三角函數(shù)定義時(shí)，

11、點(diǎn)P(x，y)可取終邊上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P在單位圓上，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝；若|OP|＝r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝. 2．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用單位圓和三角函數(shù)線是解三角不等式的常用方法． [易錯(cuò)與防范] 1．第一象限角、銳角、小于90°的角是三個(gè)不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角． 2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致，不可混用． 3．已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況． 課時(shí)分層訓(xùn)練(二十一)

12、 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．給出下列四個(gè)命題： ①－是第二象限角；②是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正確的命題是________．(填序號(hào)) ②③④　[－是第三象限角，故①錯(cuò)誤.＝π＋，從而是第三象限角，②正確．－400°＝－360°－40°，從而③正確．－315°＝－360°＋45°，從而④正確．] 2．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是________． 　[由題設(shè)知，圓弧的半徑r＝， ∴圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝2r＝.] 3．已知點(diǎn)P(cos α，tan α)在第三象限，則角

13、α的終邊在第________象限． 二　[由題意可得則所以角α的終邊在第二象限．] 4．已知點(diǎn)P在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172120】 　[因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan θ＝＝－，則θ＝π.] 5．已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝________. －　[取終邊上一點(diǎn)(a,2a)(a≠0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.] 6．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)等于________．

14、　[設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則 解得] 7．(2017·無錫期中)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(10，m)，且tan α ＝－，則m的值為________． －8　[由題意可知tan α＝＝－，∴m＝－8.] 8．(2017·鹽城期中)若sin ＝－，α∈[2π，3π]，則α＝________. 　[∵α∈[2π，3π]，∴∈. 由sin ＝－，可知＝，即α＝.] 9．若角α的終邊在直線y＝－x上，則2sin α＋cos a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172121】 ±　[設(shè)P(4a，－3a)(a≠0)是角α終邊上任意一點(diǎn)， 則OP＝r＝＝5|a|. 當(dāng)a>0時(shí)，r

15、＝5a， 此時(shí)sin α＝－，cos α＝， 則2sin α＋cos α＝－＋＝－. 當(dāng)a<0時(shí)，r＝－5a， 此時(shí)，sin α＝，cos α＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝.] 10．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為________． －1　[由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1.] 二、解答題 11．一個(gè)扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)

16、和弦長(zhǎng)AB. [解]　設(shè)扇形的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm， 則解得 ∴圓心角α＝＝2. 如圖，過O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1 rad. ∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB＝2sin 1(cm)． ∴圓心角的弧度數(shù)為2，弦長(zhǎng)AB為2sin 1 cm. 12．已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ. [解]　∵θ的終邊過點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)， ∴tan θ＝－， 又tan θ＝－x， ∴x2＝1，即x＝±1. 當(dāng)x＝1時(shí)，sin θ＝－，cos θ＝， ∴sin θ＋cos θ＝0；

17、 當(dāng)x＝－1時(shí)，sin θ＝－，cos θ＝－， ∴sin θ＋cos θ＝－. 故sin θ＋cos θ的值為0或－. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．在(0,2π)內(nèi)，使sin x＞cos x成立的x的取值范圍為________． 　[如圖所示，找出在(0,2π)內(nèi)，使sin x＝cos x的x值，sin ＝cos ＝，sin ＝cos ＝－.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律找出滿足題中條件的角x∈.] 2．已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時(shí)針運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為α，則tan α＝________. 1　[設(shè)∠MON為β，

18、由弧長(zhǎng)公式可知＝2β，∴β＝，∴α＝－＝， ∴tan α＝tan ＝1.] 3．已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172122】 [解]　設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(k，－3k)， 則r＝＝|k|. 當(dāng)k>0時(shí)，r＝k， ∴sin α＝＝－，＝＝， ∴10sin α＋＝－3＋3＝0； 當(dāng)k<0時(shí)，r＝－k， ∴sin α＝＝， ＝＝－， ∴10sin α＋＝3－3＝0. 綜上，10sin α＋＝0. 4．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號(hào)． [解]　(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限， 其集合為. (2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z， 故終邊在第二、四象限． (3)當(dāng)在第二象限時(shí)，tan ＜0， sin ＞0，cos ＜0， 所以tan sin cos 取正號(hào)； 當(dāng)在第四象限時(shí)，tan ＜0， sin ＜0，cos ＞0， 所以tan sin cos 也取正號(hào)． 因此，tan sin cos 取正號(hào)．