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1、
(四)解析幾何
1．(2018·蘇州市高新區(qū)一中考試)如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的上、下頂點分別為A，B，右焦點為F，點P在橢圓C上，且OP⊥AF.
(1)若點P的坐標(biāo)為(，1)，求橢圓C的方程；
(2)延長AF交橢圓C于點Q，已知橢圓的離心率為，若直線OP的斜率是直線BQ的斜率的m倍，求實數(shù)m的值．
解 (1)因為點P(，1)，
所以kOP＝，
又因為AF⊥OP，－×＝－1，
所以c＝b，所以3a2＝4b2，
又點P(，1)在橢圓C上，
所以＋＝1，
解得a2＝，b2＝.
故橢圓方程為＋＝1.
(2)因為e＝＝，
即＝，
所以＝.
又因為kAQk
2、BQ＝·＝＝－，
所以m＝＝－＝＝2.
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線l：y＝－x與橢圓E相交于A，B兩點，AB＝2，C，D是橢圓E上異于A，B的兩點，且直線AC，BD相交于點P，直線AD，BC相交于點Q.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：直線PQ的斜率為定值．
(1)解 因為e＝＝，
所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，
所以a＝2b.
所以橢圓方程為＋＝1.
由題意不妨設(shè)點A在第二象限，點B在第四象限，
由得A.
又AB＝2，所以O(shè)A＝，
則2b2＋b2＝b2＝10，
得b＝2，a＝4.
所以橢圓
3、E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)證明 由(1)知，橢圓E的方程為＋＝1，
A(－2，)，B(2，－)．
①當(dāng)直線CA，CB，DA，DB的斜率都存在，且不為零時，設(shè)直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C(x0，y0)，顯然k1≠k2.
從而k1·kCB＝·＝
＝＝＝－，所以kCB＝－.
同理kDB＝－.
所以直線AD的方程為y－＝k2(x＋2)，直線BC的方程為y＋＝－(x－2)，
由
解得
從而點Q的坐標(biāo)為.
用k2代替k1，k1代替k2得點P的坐標(biāo)為.
所以kPQ＝
＝＝.
即直線PQ的斜率為定值.
②當(dāng)直線CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，由題意
4、得，至多有一條直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線CA的斜率不存在，從而C(－2，－)．
設(shè)DA的斜率為k，由①知，kDB＝－.
因為直線CA：x＝－2，直線DB：y＋＝－(x－2)，
得P.
又直線BC：y＝－，直線AD：y－＝k(x＋2)，
得Q，
所以kPQ＝.
由①②可知，直線PQ的斜率為定值.
3.平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率是，右準(zhǔn)線的方程為x＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P，過x軸上的一個定點M作直線l與橢圓C交于A，B兩點，若三條直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列，求點M的坐標(biāo)．
解 (1)因為橢圓的離心率為，
5、右準(zhǔn)線的方程為x＝，
所以e＝＝，＝，則a＝2，c＝，b＝1，
橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)M(m,0)，當(dāng)直線l為y＝0時，A(－2,0)，B(2,0)，
PA，PM，PB的斜率分別為
kPA＝，kPM＝，kPB＝－，
因為直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列，
所以＝－，m＝8.
證明如下：
當(dāng)M(8,0)時，直線PA，PM，PB的斜率構(gòu)成等差數(shù)列，
設(shè)AB：y＝k(x－8)，代入橢圓方程x2＋4y2－4＝0，
得x2＋4k2(x－8)2－4＝0，
即(1＋4k2)x2－64k2x＋256k2－4＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因為x1,
6、2＝，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
又kPM＝＝－，
所以kPA＋kPB＝＋
＝＋
＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋＝－＝2kPM，即證．
4．(2018·江蘇省前黃中學(xué)等五校聯(lián)考)如圖，已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－2,0)，且點在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點．過點A作斜率為k(k>0)的直線交橢圓E于另一點B，直線BF2交橢圓E于點C.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若△CF1F2為等腰三角形，求點B的坐標(biāo)；
(3)若F1C⊥AB，求k的值．
解 (1)由題意得解得
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)∵△CF1F
7、2為等腰三角形，且k>0，
∴點C在x軸下方，
①若F1C＝F2C，則C(0，－)；
②若F1F2＝CF2，則CF2＝2，∴C(0，－)；
③若F1C＝F1F2，則CF1＝2，∴C(0，－)，
∴C(0，－)．
∴直線BC的方程為y＝(x－1)，
由得或
∴B.
(3)設(shè)直線AB的方程lAB：y＝k(x＋2)，
由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，
∴xAxB＝－2xB＝，
∴xB＝，∴yB＝k(xB＋2)＝，
∴B，
若k＝，則B，∴C，
∵F1(－1,0)，∴kCF1＝－，
∴F1C與AB不垂直，∴k≠.
∵F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，
∴直線BF2的方程lBF2：y＝(x－1)，
直線CF1的方程lCF1：y＝－(x＋1)．
由解得
∴C(8k2－1，－8k)．
又點C在橢圓上，得＋＝1，
即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝，
∵k>0，∴k＝.
2019年高考數(shù)學(xué)練習(xí)題匯總高考解答題分項練(四)
