2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第十章 第3節(jié)拋物線及其性質(zhì)~第4節(jié)曲線與方程

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1、 第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì) 題型122 拋物線的定義與標準方程 2013年 1.（2013四川文5）拋物線的焦點到直線的距離是（ ）. A. B. C. D. 2014年 1.（2014安徽文3）拋物線的準線方程是（ ）. A. B. C. D. 2.（2014遼寧文8）已知點在拋物線：的準線上，記的焦點為，則直線的斜率為（ ） A． B． C． D． 3.（2014新課標Ⅰ文10）已知拋物線：的焦點為，是C上一

2、點，，則（ ） A. B. C. D. 4.（2014陜西文11）拋物線的準線方程為___________. 5.（2014湖南文14）平面上一機器人在行進中始終保持與點的距離和到直線 的距離相等.若機器人接觸不到過點且斜率為的直線，則的取值范圍 是 . 2015年 1.（2015陜西文3）已知拋物線的準線經(jīng)過點，則該拋物線的焦 點坐標為（ ）. A. B. C. D. 1. 解析 由拋物線得準線，因為準線經(jīng)過

3、點，所以， 所以拋物線焦點坐標為.故選B. 2.（2015福建文19）已知點為拋物線：的焦點，點在拋 物線上，且． （1）求拋物線的方程； （2）已知點，延長交拋物線于點，求證： 以點為圓心且與直線 相切的圓，必與直線相切． 2.分析 （1）利用拋物線定義，將拋物線上的點到焦點距離和到準線距離相互轉(zhuǎn)化．本題 由可得，可求的值，進而確定拋物線方程； （2）欲證明以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．可證明點到直線 和直線的距離相等（此時需確定兩條直線方程）；也可以證明， 可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)． 解析（1）由拋物線的定義得．因為，即，解得， 所

4、以拋物線的方程為． （2）解法一：因為點，在拋物線：上， 所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)． 由，可得直線的方程為． 由，得. 解得或，從而． 又，所以，， 所以，從而，這表明點到直線，的距離相等， 故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切． 解法二：設(shè)以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為． 因為點在拋物線：上， 所以，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)． 由，可得直線的方程為． 由，得， 解得或，從而． 又，故直線的方程為， 從而． 又直線的方程為， 所以點到直線的距離． 這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切． 2016年 1.（2016四川文3）拋物線

5、的焦點坐標是（ ）. A. B. C. D. 1. D 解析 由題意，的焦點坐標為.故選. 2.（2016江蘇22（1））如圖所示，在平面直角坐標系中，已知直線，拋物線.若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程. 2. 解析 因為，所以與軸的交點坐標為，拋物線的焦點為， 所以，故. 3.（2016浙江文19（1））如圖所示，設(shè)拋物線的焦點為，拋物線上的點到軸的距離等于. 求的值. 3. 解析因為拋物線上點到焦點的距離等于點到準線的距離，由已知條件得，即. 題型123 與拋

6、物線有關(guān)的距離和最值問題 2013年 1. （2013江西文9）已知點，拋物線的焦點為，射線與拋物線 相交于點，與其準線相交于點，則（ ）. A. B. C. D. 2.（2013江蘇9）拋物線在處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為（包含三 角形內(nèi)部和邊界）.若點是區(qū)域內(nèi)的任意一點，則的取值范圍是 . 3．（2013廣東文20）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線 的距離為，設(shè)為直線上的點，過點做拋物線的兩條切線， 其中，為切點． (1) 求拋物線的方程； (2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程； (3) 當點在直線上移動時

7、，求的最小值． 4.（2013浙江文22）已知拋物線的頂點為 ，焦點. （1）求拋物線的方程； （2）過作直線交拋物線于兩點，若直線分別交 直線： 于兩點， 求 的最小值. 2017年 1.（2017全國2卷文12）過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方），為的準線，點在上且，則點到直線的距離為（ ）. A. B. C. D. 1.解析 由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得，所以. 解法一：因為，所以，因為，所

8、以，所以到的距離為.故選C. 解法二：如圖所示，在中，由拋物線定義知，.因為，所以.又軸，所以，所以為等邊三角形，且，則點到直線的距離為. 題型124 拋物線中三角形、四邊形的面積問題 2016年 1.（2016上海文20）有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點或河邊運走.于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為，如圖所示. （1）求菜地內(nèi)的分界線的方程； （2）菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值”為.設(shè)

9、是上縱坐標為的點，請計算以為一邊，另一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值. 1.解析 （1）不妨設(shè)設(shè)分界線上任一點為，依題意，化簡得. （2）因為，所以， 設(shè)以為一邊，另一邊過點的矩形的面積為，則， 設(shè)五邊形面積為，過作交于點，如圖所示. 則， 因為，， 所以五邊形的面積更接近的面積. 第四節(jié) 曲線與方程 題型125 求動點的軌跡方程 2013年 1. （2013遼寧文20）如圖，拋物線.點在拋物線上，過作的切線，切點為（為原點時，重合于）.當時，切線的斜率為. （1）求的值； （2）當在上運動時，求線段中點的軌跡方程（

10、 重合于時，中點為）. 2. (2013陜西文20）已知動點到直線的距離是它到點的距離的倍. （1）求動點的軌跡的方程； （2）過點的直線與軌跡交于兩點.若是的中點，求直線的斜率. 2014年 1.（2014福建文21）已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小 2. （1）求曲線的方程； （2）曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點，以為直徑作圓，過點作圓的切線，切點為，試探究：當點在曲線上運動（點與原點不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論. 2. （2014廣東文20）（14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為， （1）求橢圓的標

11、準方程； （2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程. 3.（2014湖北文22）在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多．記點的軌跡為. （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）設(shè)斜率為的直線過定點. 求直線與軌跡恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時的相應(yīng)取值范圍. 2015年 1.（2015浙江文7）如圖所示，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面 上的動點滿足，則點的軌跡是（ ）. A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 1. 解析 若

12、，則繞點旋轉(zhuǎn)形成圓錐面，這面被平面截得圖像是橢圓.故選C. 2016年 1. （2016四川文15）在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為，當是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點；②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上； ③若兩點關(guān)于軸對稱，則他們的“伴隨點”關(guān)于軸對稱；④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是 . 1.②③ 解析 對于①，若令則其伴隨點為，而的伴隨點為，而不是，故①錯誤； 對于②，令單位圓上點的坐標為，其伴隨點為仍在單位圓上，故②正確； 對于③，設(shè)曲線

13、關(guān)于軸對稱，則對曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因為 其伴隨曲線分別為與的圖像關(guān)于軸對稱，所以③正確； 對于④，直線上取點得，其伴隨點消參后軌跡是圓，故④錯誤. 所以正確的序號為②③. 2017年 1.（2017全國2卷文20）設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓上，過點M作x軸的垂線，垂足為N， 點P滿足. （1）求點的軌跡方程； （2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點且垂直于的直線過的左焦點. 1. 解析 （1）如圖所示，設(shè)，，. 由知，，即. 又點在橢圓上，則有，即. （2）設(shè)，則有 ，即. 橢圓的左焦點.又，所以.所以過點且垂直于的直線過的左焦點.