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1、
課時分層訓練(七)
A組 基礎達標
(建議用時：30分鐘)
1．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，求||的值．
[解] 以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
設M(x，y，z)，
∵點M在AC1上且＝，
(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.
得M，
∴||＝＝.
2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，求·的值．
[解] 如圖，設＝a，＝b，＝c，
則|a|＝|b|＝|c|＝
2、a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
3．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當·取最小值時，求點Q的坐標．
[解] 由題意，設＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，
則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，當λ＝時有最小值，此時Q點坐標為.
4．在直三棱柱ABC-A′B′C
3、′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點．
圖63-8
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值. 【導學號：62172340】
[解] (1)證明：設＝a，＝b，＝c，
根據(jù)題意得，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.
B組 能力提升
(建議用時：
4、15分鐘)
1．如圖63-9，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，G為△A1BD的重心，設＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示，，并證明A，G，C1三點共線．
圖63-9
[解]?。剑剑絘＋b＋c.
＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
因為＝3，所以A，G，C1三點共線．
2．已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值. 【導學號：62172341】
[解] (1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝
5、(－2，－1,2)，
∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
故向量a與向量b的夾角的余弦值為－.
3．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；
(2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標．
[解] (1)由題意可得：＝(－
6、2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以cos〈，〉＝
＝＝＝.
所以sin〈，〉＝，
所以以，為邊的平行四邊形的面積為
S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
(2)設a＝(x，y，z)，由題意得
解得或
所以向量a的坐標為(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
4．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直線AB上，是否存在一點E，使得⊥b？(O為原點)
[解] (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t(t∈R)，
所以＝＋＝＋t
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，則·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在點E，使得⊥b，此時E點的坐標為.
高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第2章 第63課 課時分層訓練7
