版高考數(shù)學二輪復(fù)習分層設(shè)計全國通用第四層熱身篇:專題檢測七三角恒等變換與解三角形

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1、專題檢測(七)專題檢測(七)三角恒等變換與解三角形三角恒等變換與解三角形A 組“633”考點落實練一、選擇題1.(2019開封市定位考試)已知 cos213,則 cos 2的值為()A.79B.79C.2 23D.13解析:選 B因為 cos213,所以 sin13,所以 cos 21213279,故選 B.2.(2019長春市質(zhì)量監(jiān)測一)函數(shù) f(x)sinx3 sin x 的最大值為()A. 3B.2C.2 3D.4解析: 選 A法一: 由已知得 f(x)12sin x32cos xsin x32sin x32cos x 3sinx6 ,所以函數(shù)的最大值為 3,故選 A.法二:由已知得 f

2、(x)12sin x32cos xsin x32sin x32cos x,故函數(shù)的最大值為322322 3,故選 A.3.(2019長春市質(zhì)量監(jiān)測一)在ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,若 bacosC12c,則角 A 等于()A.60B.120C.45D.135解析:選 A由 bacos C12c 及余弦定理,可得 bab2a2c22ab12c,即 2b2b2a2c2bc,整理得 b2c2a2bc,于是 cos Ab2c2a22bc12,又 0A,所以 A60,故選 A.4.(2019江西七校第一次聯(lián)考)ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知 bac

3、os C33sin C,a2,c2 63,則角 C()A.34B.3C.6D.4解析: 選 D由 bacos C33sin C, 得 sin Bsin Acos C33sin C.因為 sin Bsin(AC)sin(AC), 所以 sin Acos Ccos Asin Csin Acos C33sin Asin C(sin C0), cos A33sin A, 所以 tan A 3.因為 0A, 所以 A3.由正弦定理asin Acsin C, 得 sin C22.因為 0C23,所以 C4.故選 D.5.在ABC 中,角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,若cbcos A,則ABC

4、為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形解析:選 A根據(jù)正弦定理得cbsin Csin Bcos A,即 sin Csin Bcos A.ABC,sin Csin(AB)sin Bcos A,整理得 sin Acos B0,cos B0,2B,ABC 為鈍角三角形.6.(2018南昌一模)已知臺風中心位于城市 A 東偏北(為銳角)的 150 千米處,以 v 千米/時沿正西方向快速移動,2.5 小時后到達距城市 A 西偏北(為銳角)的 200 千米處,若 cos34cos,則 v()A.60B.80C.100D.125解析:選 C如圖,臺風中心為 B,2.5 小時后到達點

5、C,則在ABC 中, ABsinACsin, 即 sin43sin, 又 cos34cos,sin2cos2169sin2916cos21sin2cos2,sin34cos,sin35,cos45,sin45,cos35,cos()coscossinsin354545350,2,BC2AB2AC2,(2.5v)215022002,解得 v100,故選 C.二、填空題7.(2019全國卷)ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c.若 b6,a2c,B3,則ABC 的面積為_.解析:由余弦定理得 b2a2c22accos B.又 b6,a2c,B3, 364c2c222c212, c2

6、 3,a4 3, SABC12acsin B124 32 3326 3.答案:6 38.在ABC 中,角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,若 A3,3sin2Ccos C2sin Asin B,且 b6,則 c_.解析:由余弦定理得 a2b2c22bc12b2c2bc,又3sin2Ccos C2sin Asin B,由正弦定理可得3c22aba2b2c22ab,即 a2b24c20,則 b2c2bcb24c20.又 b6,c22c240,解得 c4(負值舍去).答案:49.(2019洛陽市統(tǒng)考)在ABC 中,角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,若 a,b,c 成等比數(shù)列,且 ta

7、n B34,則1tan A1tan C的值是_.解析:a,b,c 成等比數(shù)列,b2ac,由正弦定理得 sin2Bsin Asin C,1tan A1tan Ccos Asin Acos Csin Csin Ccos Acos Csin Asin Asin Csin(CA)sin Asin Csin Bsin Asin C1sin B, tan B34, sin B35,1tan A1tan C53.答案:53三、解答題10.(2018全國卷)在平面四邊形 ABCD 中,ADC90,A45,AB2,BD5.(1)求 cos ADB;(2)若 DC2 2,求 BC.解:(1)在ABD 中,由正弦定

8、理得BDsin AABsin ADB,即5sin 452sin ADB,所以sin ADB25.由題設(shè)知,ADB90,所以 cos ADB1225235.(2)由題設(shè)及(1)知,cos BDCsin ADB25.在BCD 中,由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC258252 22525,所以 BC5.11.(2019重慶市學業(yè)質(zhì)量調(diào)研)ABC 的內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c, 已知ABC的面積為32accos B,且 sin A3sin C.(1)求角 B 的大??;(2)若 c2,AC 的中點為 D,求 BD 的長.解:(1)SABC12acsin B

9、32accos B,tan B 3.又 0B,B60.(2)sin A3sin C,由正弦定理得,a3c,a6.由余弦定理得 b26222226cos 6028,b2 7.cos Ab2c2a22bc(2 7)22262222 7714.D 是 AC 的中點,AD 7.BD2AB2AD22ABADcos A22( 7)222 7714 13.BD 13.12.(2019全國卷)ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A;(2)若2ab2c,求 sin C.解:(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin

10、 Bsin C,故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12.因為 0A180,所以 A60.(2)由(1)知 B120C,由題設(shè)及正弦定理得2sin Asin(120C)2sin C,即6232cos C12sin C2sin C,可得 cos(C60)22.因為 0C120,所以 sin(C60)22,故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 606 24.B 組大題專攻強化練1.(2019江西七校第一次聯(lián)考)在ABC 中,角 A,B,C 所對應(yīng)的邊分別為 a,b,c,且a2(bc)2bc.(1)求角 A 的大

11、?。?2)若 f(x)sin(2xA), 將函數(shù) f(x)的圖象向右平移12個單位長度后又向上平移了 2 個單位長度,得到函數(shù) g(x)的圖象,求函數(shù) g(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間.解:(1)a2(bc)2bc,a2b2c2bc,cos Ab2c2a22bc12,又 0A,A3.(2)f(x)sin2x3 ,g(x)sin2x6 2,令 2k22x62k32,kZ Z,得 k6xk23,kZ Z,故函數(shù) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k6,k23,kZ Z.2.已知在ABC 中,角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,且滿足 asin Acos Ccsin AcosA 3bcos A0.(1)

12、求角 A 的大??;(2)若ABC 的面積為 4 3,且 b,a,c 成等差數(shù)列,求ABC 的內(nèi)切圓的半徑.解:(1)由 asin Acos Ccsin Acos A 3bcos A0,可知 sin A(sin Acos Ccos Asin C)3sin Bcos A,sin Asin(AC) 3sin Bcos A,sin(AC)sin B,sin Asin B 3sin BcosA,sin B0,sin A 3cos A,tan A 3,又A(0,),A3.(2)由題意可知 SABC12bcsin A12bc324 3,bc16,又 a2b2c22bccos A,a2(bc)23bc,又b,

13、a,c 成等差數(shù)列,a24a248,a4,bc2a8,ABC的周長為 abc12,設(shè)ABC 內(nèi)切圓的半徑為 r,則12r(abc)SABC,即12r124 3,r2 33.3.(2019武漢部分學校調(diào)研)已知銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C.(1)求 B 的大?。?2)求 sin Acos C 的取值范圍.解:(1)銳角三角形 ABC 中,sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C,故 b2a2c2 3ac,cos Ba2c2b22ac32,又 B0,2 ,所以 B6.(2)由(1)知,C56A

14、,故 sin Acos Csin Acos56A32sin A32cos A 3sinA6 .又 A0,2 ,C56A0,2 ,所以 A3,2 ,A66,3 ,sinA6 12,32 ,故 sin Acos C 的取值范圍為32,32 .4.(2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考)如圖, 在平面四邊形ABCD中, ABC為銳角,ADBD,AC 平分BAD,BC2 3,BD3 6,BCD 的面積 S3( 2 3)2.(1)求 CD;(2)求ABC.解:(1)在BCD 中,S12BDBCsinCBD3( 2 3)2,BC2 3,BD3 6,sinCBD12.ABC 為銳角,CBD30.在BCD 中,由余弦

15、定理得 CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2 3)2(3 6)222 3(3 6)329,CD3.(2)在BCD 中,由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD,即2 3sinBDC3sin 30,解得 sinBDC33.BCBD,BDC 為銳角,cosBDC63.在ACD 中,由正弦定理得ACsinADCCDsinCAD,ACsin2BDCCDsinCAD即ACcosBDC3sinCAD.在ABC 中,由正弦定理得ACsinABCBCsinBAC,即ACsinABC2 3sinBAC.AC 平分BAD,CADBAC.由得sinABCcosBDC32 3,解得 sinABC錯誤錯誤!.ABC 為銳角,ABC45.

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