2018屆高三數(shù)學一輪復習： 第5章 第2節(jié) 課時分層訓練29

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1、 課時分層訓練(二十九) 等差數(shù)列及其前n項和 A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為(　　) 【導學號：01772178】 A．37　　　　　 B.36 C．20 D.19 A　[am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.] 2．(2017·深圳二次調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，若前10項的和S10＝60，且a7＝7，則a4＝(　　) 【導學號：01772179】 A．4 B.－4 C．5 D.－5 C　[法一：由題意得解得∴a4＝a1＋3

2、d＝5，故選C. 法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故選C.] 3．(2017·福州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7－2a4＝6，a3＝2，則公差d＝(　　) A．2 B.4 C．8 D.16 B　[法一：由題意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故選B. 法二：由題意得解得故選B.] 4．等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項和Sn的最大值為(　　) 【導學號：01772180】 A．S7 B.S6 C．S5

3、D.S4 C　[∵∴ ∴Sn的最大值為S5.] 5．(2017·湖北七市4月聯(lián)考)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問：幾日相逢？(　　) A．9日 B.8日 C．16日 D.12日 A　[根據(jù)題意，顯然良馬每日行程構(gòu)成一個首項a1＝103，公差d1＝13的等差數(shù)列，前n天共跑的里程為S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；駑馬每日行程也構(gòu)成一個首項b1＝97，公差d2＝－0.5的等差數(shù)列

4、，前n天共跑的里程為S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.兩馬相逢時，共跑了一個來回．設其第n天相逢，則有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它們第9天相遇，故選A.] 二、填空題 6．(2017·鄭州二次質(zhì)量預測)已知{an}為等差數(shù)列，公差為1，且a5是a3與a11的等比中項，則a1＝__________. －1　[因為a5是a3與a11的等比中項，所以a＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋10d)，解得a1＝－1.] 7．(2016·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項

5、和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 6　[∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. ∴S6＝6a1＋d＝6.] 8．(2016·江蘇高考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________． 20　[法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化簡得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20. 法二：設等差數(shù)列{an}的

6、公差為d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2. 由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化簡得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1. 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.] 三、解答題 9．已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk＝110. 【導學號：01772181】 (1)求a及k的值； (2)設數(shù)列{bn}的通項bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn. [解]　(1)設該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差

7、d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.3分 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.5分 (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，8分 即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝.12分 10．(2017·合肥三次質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d≠0，且a3·a4＝a12. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝an·2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)由a3·a

8、4＝a12得(1＋2d)·(1＋3d)＝1＋11d?d＝1或d＝0(不合題意舍去)，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.5分 (2)依題意bn＝an·2n＝n·2n， Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，9分 兩式相減得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.12分 B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn

9、}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為(　　) 【導學號：01772182】 A．bn＝n－1　　　　　 B.bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D.bn＝2n＋1 B　[設等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因為b1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因為對任意的正整數(shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.] 2．已知等差數(shù)

10、列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為__________． 110　[因為等差數(shù)列{an}的首項a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得， Sn＝na1＋d＝20n－×2 ＝－n2＋21n＝－2＋2， 又因為n∈N*，所以n＝10或n＝11時，Sn取得最大值，最大值為110.] 3．(2014·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． [解]　(1)證明：由題設知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，2分 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.5分 (2)由題設知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1.7分 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；9分 {a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.12分