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1、
熱點探究訓練(二)
1.設函數f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數，求a的取值范圍. 【導學號：62172116】
[解] (1)對f(x)求導得f′(x)＝
＝. 3分
因為f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
當a＝0時，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，從而f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－＝(x－1)，化簡得3x－ey＝0. 7分
(2)由(1)知f′(x)＝，
令g(x
2、)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0解得x1＝，x2＝. 9分
當x0，即f′(x)>0，故f(x)為增函數；
當x>x2時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數.11分
由f(x)在[3，＋∞)上為減函數，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范圍為. 14分
2.(2017·蘇州模擬)設函數f(x)＝－k(k為常數，e＝2.718 28…是自然對數的底數)．
(1)當k≤0時，求函數f(x)的單調區(qū)間；
(2)若函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，求
3、k的取值范圍．
[解] (1)函數y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝－k
＝－＝.
由k≤0可得ex－kx>0，
所以當x∈(0,2)時，f′(x)<0，函數y＝f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數y＝f(x)單調遞增．
所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,2)，單調遞增區(qū)間為(2，＋∞). 6分
(2)由(1)知，k≤0時，函數f(x)在(0,2)內單調遞減，
故f(x)在(0,2)內不存在極值點；
當k>0時，設函數g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．
因為g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
當0
4、0,2)時，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)單調遞增，
故f(x)在(0,2)內不存在兩個極值點；
當k>1時，
得x∈(0，ln k)時，g′(x)<0，函數y＝g(x)單調遞減，
x∈(ln k，＋∞)時，g′(x)>0，函數y＝g(x)單調遞增．
所以函數y＝g(x)的最小值為g(ln k)＝k(1－ln k)．
函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，
當且僅當解得e
5、(x)的單調性；
(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．
[解] (1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). 1分
(ⅰ)設a≥0，則當x∈(－∞，1)時，f′(x)＜0；
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增. 3分
(ⅱ)設a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，則f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增．
②若a＞－，則ln(－2a)＜1，
故當x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)時，f′(x)
6、＞0；
當x∈(ln(－2a)，1)時，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上單調遞增，在(ln(－2a)，1)上單調遞減. 5分
③若a＜－，則ln(－2a)＞1，
故當x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)時，f′(x)＞0；
當x∈(1，ln(－2a))時，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上單調遞增，在(1，ln(－2a))上單調遞減. 7分
(2)(ⅰ)設a＞0，則由(1)知，f(x)在(－∞，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b滿足b＜0且b＜ln，
7、則f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有兩個零點. 9分
(ⅱ)設a＝0，則f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一個零點．
(ⅲ)設a＜0，若a≥－，則由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上單調遞增．又當x≤1時f(x)＜0，故f(x)不存在兩個零點；若a＜－，則由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上單調遞減，在(ln(－2a)，＋∞)上單調遞增．又當x≤1時，f(x)＜0，故f(x)不存在兩個零點．
綜上，a的取值范圍為(0，＋∞). 14分
4.(2017·鹽城模擬)已知函數f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函數f(x)的單調
8、區(qū)間；
(2)若函數y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]函數g(x)＝x3＋x2在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍；
(3)求證：×××…×<(n≥2，n∈N＋). 【導學號：62172117】
[解] (1)f′(x)＝(x>0)．
當a>0時，f(x)的單調增區(qū)間為(0,1]，減區(qū)間為[1，＋∞)；
當a<0時，f(x)的單調增區(qū)間為[1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1]；
當a＝0時，f(x)不是單調函數. 4分
(2)由f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f′(x)＝.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數，且g′(0)＝－2，
∴
由題意知：對于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，所以有：
∴－f(1)，即－ln x＋x－1>0，∴l(xiāng)n x
高考數學 17-18版 第4章 熱點探究訓練2
