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1、
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用備考策略
主標(biāo)題：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用備考策略
副標(biāo)題：通過(guò)考點(diǎn)分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。
關(guān)鍵詞：y＝Asin(ωx＋φ)，圖象與性質(zhì)，備考策略
難度：2
重要程度：4
內(nèi)容考點(diǎn)一 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象畫(huà)法與變換
【例1】 (1)已知f(x)＝sin(ω＞0)的圖象與y＝－1的圖象的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為π，要得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，只需把y＝cos 2x的圖象
( )．
A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位
2、(2)已知函數(shù)y＝2sin.
①求它的振幅、周期、初相；
②用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
③說(shuō)明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到．
(1)解析 依題意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋) f(x)＝sin(2x＋)．
答案 B
(2)解?、賧＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
②令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X.
列表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sin X
0
1
0
3、
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
③法一 把y＝sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再把y＝sin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象；最后把y＝sin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象．
法二 將y＝sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝2sin的
4、圖象．
【備考策略】 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種作法是五點(diǎn)作圖法和圖象變換法．
(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象．
(2)三角函數(shù)圖象進(jìn)行平移變換時(shí)注意提取x的系數(shù)，進(jìn)行周期變換時(shí)，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的ω倍，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．
考點(diǎn)二 由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部
5、分圖象
如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_______．
解析 由圖可知A＝，
法一?。剑剑訲＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，
又對(duì)應(yīng)五點(diǎn)法作圖中的第三個(gè)點(diǎn)，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.
法二 以為第二個(gè)“零點(diǎn)”，為最小值點(diǎn)，
列方程組解得
故f(x)＝sin.
答案 f(x)＝sin
【備考策略】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫
6、坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.
考點(diǎn)三 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)應(yīng)用
【例3】 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值為2，最小正周期為π，直線x＝是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調(diào)遞增區(qū)間．
解 (1)由題意，得A＝2，ω＝＝2，
當(dāng)x＝時(shí)，2sin＝±2，
即sin＝
7、±1，所以＋φ＝kπ＋，
解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝.
故f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin
＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.
【備考策略】 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)
(1)奇偶性：φ＝kπ時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為T(mén)＝.
(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的單調(diào)性來(lái)研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)減區(qū)間．
(4)對(duì)稱(chēng)性：利用y＝sin x的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x、ω.
利用y＝sin x的對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其對(duì)稱(chēng)軸．
高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)教案： 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用備考策略
