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1、
立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略
主標(biāo)題：立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略
副標(biāo)題：通過(guò)考點(diǎn)分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學(xué)生備考復(fù)習(xí)打通快速通道。
關(guān)鍵詞：向量證平行，向量證垂直，向量求角，備考策略
難度：2
重要程度：4
內(nèi)容
考點(diǎn)一 利用空間向量證明平行問(wèn)題
【例1】 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD.
思路 若用向量證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為判定向量∥，或證明與平面A1BD的法向量垂直．
證明 法一 如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1
2、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則可求得M，
N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．
設(shè)平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．
則n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，
又MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二?。剑剑?－)＝.∴∥，
又∵M(jìn)N與DA1不共線，
∴MN∥DA1，
又∵M(jìn)N?平面A1BD，A1D?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
3、
【備考策略】 (1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵．
(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．
考點(diǎn)二 利用空間向量證明垂直問(wèn)題
【例2】如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點(diǎn)M是線段AP上一
4、點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.
證明 (1)如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.
則O(0,0,0)，A(0，－3,0)，
B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，
＝(－8,0,0)，
∴·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，
∴＝＝，
又＝(－8,0,0)，＝(－4,5,0)，＝(－4，－5,0)，
∴＝＋＝，
則·＝(0,3,4)·＝0，
∴⊥，即AP⊥BM，
5、
又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，
∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.
【備考策略】(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵．
(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可．
考點(diǎn)三 利用空間向量解決探索性問(wèn)題
【例3】 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－
6、A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．
(1)求證：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
思路 由長(zhǎng)方體特征，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，從而將幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．第(1)問(wèn)證明·＝0，第(2)問(wèn)是存在性問(wèn)題，由與平面B1AE的法向量垂直，通過(guò)計(jì)算作出判定．
(1)證明 以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．
設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．
故＝(0,1,1)，＝，
7、＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)解 假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)．
使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)．
又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得
取x＝1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，
解得z0＝.
又DP?平面B1AE，
∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝.
【備考策略】 立體幾何開(kāi)放性問(wèn)題求解方法有以下兩種：
(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；
(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在．本題是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算，判定關(guān)于z0的方程是否有解．
高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直備考策略
