2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第1章 第1節(jié) 集合

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1、 第一章　集合與常用邏輯用語 [深研高考·備考導(dǎo)航]　為教 師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源 [五年考情] 考點 2016年 2015年 2014年 2013年 2012年 集合的概念及其運算 全國卷Ⅰ·T1 全國卷Ⅱ·T2 全國卷Ⅱ·T1 全國卷Ⅰ·T1全國卷Ⅱ·T1 全國卷Ⅰ·T1 全國卷Ⅱ·T1 全國卷·T1 四種命題及其關(guān)系，充分條件與必要條件 含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，全稱命題、特稱命題的否定 全國卷Ⅰ·T3 全國卷Ⅰ·T9 [重點關(guān)注] 綜合近5年全國卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本

2、章呈現(xiàn)以下規(guī)律： 1．從考查題型看：一般是一個選擇題，個別年份是兩個選擇題，從考查分值看，在5分左右，題目注重基礎(chǔ)，屬容易題． 2．從考查知識點看：主要考查集合的關(guān)系及其運算，有時綜合考查一元二次不等式的解法，突出對數(shù)形結(jié)合思想的考查，對常用邏輯用語考查較少，有時會命制一道小題． 3．從命題思路看： (1)集合的運算與一元二次不等式的解法相結(jié)合考查． (2)充分條件、必要條件與其他數(shù)學(xué)知識(導(dǎo)數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、集合運算等)相結(jié)合考查． (3)全稱命題、特稱命題、含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合考查． (4)通過對近5年全國卷高考試題分析，可以預(yù)測，在2018年，本章內(nèi)容

3、考查的重點是：①集合的關(guān)系及其基本運算；②全稱命題、特稱命題、含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷；③充分條件，必要條件的判斷． [導(dǎo)學(xué)心語] 根據(jù)近5年的全國卷高考命題特點和規(guī)律，復(fù)習(xí)本章時，要注意以下幾個方面： 1．全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)，深刻理解知識本質(zhì) (1)重視對集合相關(guān)概念的理解，深刻理解集合、空集、五個特殊集合的表示及子集、交集、并集、補集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法． (2)重視充分條件、必要條件的判斷，弄清四種命題的關(guān)系． (3)重視含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷，掌握特稱命題、全稱命題否定的含義． 2．熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 (1)子集的個數(shù)及判定問題． (2

4、)集合的運算問題． (3)充分條件、必要條件的判斷問題． (4)含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷問題． (5)特稱命題、全稱命題的否定問題． 3．重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用 (1)數(shù)形結(jié)合思想：解決有關(guān)集合的運算問題時，可利用Venn圖或數(shù)軸更直觀地求解． (2)轉(zhuǎn)化與化歸思想：通過運用原命題和其逆否命題的等價性，進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，巧妙判斷命題的真假． 第一節(jié)　集　合 [考綱傳真]　1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5、3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算． 1．元素與集合 (1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． 2．集合間的基本關(guān)系 (1)子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A. (2)真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA. (3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.

6、 (4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本運算 并集 交集 補集 圖形表示 符號表示 A∪B A∩B ?UA 意義 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x?A} 4.集合關(guān)系與運算的常用結(jié)論 (1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個． (2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(

7、正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何集合都有兩個子集．(　　) (2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.(　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) [解析]　(1)錯誤．空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的． (2)錯誤．集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集．因此A，B，C不相等． (3)錯誤．當(dāng)x＝1時，不滿足互異性． (4)錯誤．當(dāng)A＝

8、?時，B，C可為任意集合． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．{a}?A B.a?A C.{a}∈A D.a?A D　[由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a?A.] 3．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝(　　) A. B. C. D. D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}． ∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝. ∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝. 故選D.] 4．

9、(2016·全國卷Ⅲ)設(shè)集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，則?AB＝(　　) A．{4,8}　　　　　　　 B.{0,2,6} C．{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10} C　[∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}， ∴?AB＝{0,2,6,10}．] 5．設(shè)全集為R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，則A∩(?RB)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：01772000】 {x|－3＜x≤－1}　[由題意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}． ∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴?RB＝{x|x

10、≤－1或x＞5}， ∴A∩(?RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．] 集合的基本概念 　(1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是(　　) A．1　　　 B.3　　 C.5　　　 D.9 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝(　　) A. B. C.0 D.0或 (1)C　(2)D　[(1)當(dāng)x＝0，y＝0,1,2時，x－y＝0，－1，－2； 當(dāng)x＝1，y＝0,1,2時，x－y＝1,0，－1； 當(dāng)x＝2，y＝0,1,2時，x－y＝2,1,

11、0. 根據(jù)集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1,0,1,2，共5個． (2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根． 當(dāng)a＝0時，x＝，符合題意； 當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝， 所以a的取值為0或.] [規(guī)律方法]　1.研究集合問題，首先要抓住元素，其次看元素應(yīng)滿足的屬性；特別地，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性，如題(1)． 2．由于方程的不定性導(dǎo)致求解過程用了分類討論思想，如題(2)． [變式訓(xùn)練1]　已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數(shù)a的取

12、值范圍為________． 　[∵A＝?，∴方程ax2＋3x－2＝0無實根， 當(dāng)a＝0時，x＝不合題意； 當(dāng)a≠0時，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－.] 集合間的基本關(guān)系 　(1)已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則(　　) A．AB B.BA C．A?B D.B＝A (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________． (1)B　(2)(－∞，4]　[(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 因此BA.

13、(2)當(dāng)B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2. 當(dāng)B≠?時，若B?A，如圖． 則 解得2＜m≤4. 綜上，m的取值范圍為m≤4.] [規(guī)律方法]　1.B?A，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論． 2．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解． [變式訓(xùn)練2]　(1)(2017·長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)若集合A＝{x|x＞0}，且B?A，則集合B可能是(　　) A．{1,2} B.{x|x≤1} C．{－1,0,1} D.R (2)(2017·石家莊

14、質(zhì)檢)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x＜m＋1}，若A?B，則實數(shù)m的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號：01772001】 (1)A　(2)(2 016，＋∞)　[(1)因為A＝{x|x＞0}，且B?A，再根據(jù)選項A，B，C，D可知選項A正確． (2)由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1,2 017]， 又B＝{x|x＜m＋1}，且A?B， 所以m＋1＞2 017，則m＞2 016.] 集合的基本運算 ?角度1　求集合的交集或并集 　(1)(2015·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,

15、8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．5　　　　 B.4　　　 C.3　　　　 D.2 (2)(2017·鄭州調(diào)研)設(shè)集合M＝{x|x2＝x}， N＝{x|lg x≤0}，則M∪N＝(　　) A．[0,1] B.(0,1] C．[0,1) D.(－∞，1] (1)D　(2)A　[(1)集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素． (2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0

16、1)(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3)，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝(　　) A．[2,3] B.(－2,3] C．[1,2) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分(如圖1-1-1)表示的集合是(　　) 圖1-1-1 A．[－1,1) B.(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D.(－3，－1) (1)B　(2)D　[(1)∵Q＝{x∈R|x2≥4}， ∴?RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<

17、x<2}． ∵P＝{x∈R|1≤x≤3}， ∴P∪(?RQ)＝{x|－2

18、 [思想與方法] 1．在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，對求出的字母的值，應(yīng)檢驗是否滿足集合元素的互異性，以確保答案正確． 2．求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；其次，當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決． 3．對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖求解． (1)對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成關(guān)于參數(shù)的方程或不等式關(guān)系． (2)對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． [易錯與防范] 1．集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對集合進行化簡． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關(guān)注對空集的討論，以防漏解． 3．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系． 4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心．