2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第4章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

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1、 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 [考綱傳真]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題． 1．平面向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. (2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的

2、長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 2．平面向量數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的

3、關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤· 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量．(　　) (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(　　) (3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.(　　) (4)在四邊形ABCD中，＝且·＝0，則四邊形ABCD為矩形. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2016·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30°　　 B.45°　 C.60°　　 D.120° A　[

4、因為＝，＝，所以·＝＋＝.又因為·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故選A.] 3．(2015·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B.0 C.1 D.2 C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，

5、故選C.] 4．(教材改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________． －2　[由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，則x＝________. －　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.] 平面向量數(shù)量積的運算 　(1)(2016·天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　

6、　) A．－　　 B.　 C.　　 D. (2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________；·的最大值為________． (1)B　(2)1　1　[(1)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故選B. (2)法一：以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t∈

7、[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因為＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故·的最大值為1. 法二：由圖知，無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1， 當(dāng)E運動到B點時，在方向上的投影最大，即為DC＝1， 所以(·)max＝||·1＝1.] [規(guī)律方法]　1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義． 2．(1)要有“基底”意識，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量．(2)注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特

8、殊情形． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知＝(2,1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為 (　　) A．－　　　　　 B.－3 C. D.3 (2)(2017·南寧二次適應(yīng)性測試)線段AD，BE分別是邊長為2的等邊三角形ABC在邊BC，AC邊上的高，則·＝(　　) A．－　 B. C.－　 D. (1)C　(2)A　[(1)因為點C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝＝＝. (2)由等邊三角形的性質(zhì)得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故選A.]

9、 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) ?角度1　平面向量的模 　(1)(2017·合肥二次質(zhì)檢)已知不共線的兩個向量a，b滿足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，則|b|＝(　　) A. B.2 C.2 D.4 (2)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________. (1)B　(2)　[(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，則|b|2＝4，|b|＝2，故選B. (2)∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)， ∵λa＋b＝0

10、. ∴即 由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.] ?角度2　平面向量的夾角 　(1)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A. B. C. D. (2)已知平面向量a，b的夾角為120°，且a·b＝－1，則|a－b|的最小值為 (　　) A. B. C. D.1 (1)B　(2)A　[(1)由|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得，a·b＝0，由|a－b|＝2|a|兩邊平方得，3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，則(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，設(shè)向量a＋b與a的夾角為θ，則有cos θ＝＝＝，故θ＝.

11、 (2)由題意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤.即|a|2＋|b|2≥4，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6， 所以|a－b|≥.] ?角度3　平面向量的垂直 　(2016·山東高考)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為(　　) A．4 B.－4 C. D.－ B　[∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0. 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，

12、 解得t＝－4.故選B.] [規(guī)律方法]　1.求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． 2．兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|. 3．求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 　已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中點，E是AB上一點，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE. [證明]　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y

13、).2分 ∵D是BC的中點，∴D.4分 又∵＝2，即(x－a，y) ＝2(－x，a－y)， ∴解得x＝，y＝a.8分 ∵＝－(a,0)＝， ＝＝， ∴·＝－a×＋×a ＝－a2＋a2＝0.10分 ∴⊥，即AD⊥CE.12分 [規(guī)律方法]　平面幾何問題中的向量方法 (1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決(如本例)． (2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解． [變式訓(xùn)練2]　在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BA

14、D＝60°，E為CD的中點．若·＝1，則AB的長為________. 【導(dǎo)學(xué)號：01772151】 　[設(shè)AB的長為a(a>0)， 因為＝＋，＝＋＝－， 于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1， 故－a2＋a＋1＝1，解得a＝， 所以AB＝.] [思想與方法] 1．計算數(shù)量積的三種方法：定義法、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義，解題要靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎc圖形有關(guān)的不要忽視數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算． 3．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧． 4．兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0. [易錯與防范] 1．?dāng)?shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量． 2．兩個向量的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立；兩個向量夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立． 3．在求向量夾角時，注意其取值范圍[0，π]．