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1、
曲線與方程備考策略
主標(biāo)題：曲線與方程備考策略
副標(biāo)題：為學(xué)生詳細(xì)的分析曲線與方程的高考考點(diǎn)、命題方向以及規(guī)律總結(jié)
關(guān)鍵詞：曲線與方程，知識(shí)總結(jié)備考策略
難度：5
重要程度：3
內(nèi)容：
一、曲線與方程
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：
(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．
(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．
二、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟
1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)．
2．寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)
2、M的集合P＝{M|p(M)}．
3．用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化簡(jiǎn)．
4．說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．
思維規(guī)律解題：
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例1．(2015·深圳調(diào)研)已知點(diǎn)F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為( )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
答案 A
解析：選A 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)．
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－
3、1)，整理得x2＝4y，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y.
例2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0)．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_(kāi)_______________________．
答案：x2－＝1(λ≠0，x≠±1)
解析：由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN＝·＝λ，
整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
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例3.如圖，已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,0)，B(1,0)，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別
4、為P，Q，R，|CP|＝1(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長(zhǎng)相等)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M.
(1)求曲線M的方程；
(2)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí)，求直線BC的方程．
解：(1)由題知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲線M是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(挖去與x軸的交點(diǎn))．
設(shè)曲線M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，
則a2＝4，b2＝a2－2＝3，
所以曲線M：＋＝1(y≠0)為所求．
(2)如圖，由題意知直線BC的斜率不為0，且過(guò)定點(diǎn)B(1,0)，
設(shè)lBC：
5、x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
所以
因?yàn)椋?my1＋2，y1)，＝(my2＋2，y2)，
所以·＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝－－＋4＝.
因?yàn)辄c(diǎn)A在以CD為直徑的圓上，
所以·＝0，即m＝±，
所以直線BC的方程為3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.
|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)
例4.(2015·廣州模擬)在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P在x軸上的正投影為點(diǎn)D.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M滿足＝2，動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡為曲線C.
(
6、1)求曲線C的方程；
(2)已知點(diǎn)E(1,0)，若A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足EA⊥EB，求·的取值范圍．
解：(1)法一：由＝2知點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,2y)．
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4.
所以曲線C的方程為＋y2＝1.
法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y.
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4. ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4.
所以曲線C的方程為＋y2＝1.
(2)因?yàn)?/p>
7、EA⊥EB，所以·＝0.
所以·＝·(－)＝.
設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，則＋y＝1，即y＝1－.
所以·＝＝(x1－1)2＋y＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2＝2＋.
因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)在曲線C上，所以－2≤x1≤2.
所以≤2＋≤9.
所以·的取值范圍為.
規(guī)律總結(jié)：
1．直接法求軌跡方程的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可直接代入即可得出方程．
(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程．
2．由曲線方程討論曲線類型的關(guān)鍵是確定參數(shù)的分段值．參數(shù)分段的確定標(biāo)準(zhǔn)，一般有兩類：
(1)二次項(xiàng)系數(shù)為0的值；
(2)二次項(xiàng)系數(shù)相等的值．
3．運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫(xiě)出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程．
4．定義法和待定系數(shù)法適用于已知軌跡是什么曲線，其方程是什么形式的方程的情況．利用條件把待定系數(shù)求出來(lái)，使問(wèn)題得解．
高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 曲線與方程備考策略
