2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第6章 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法

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1、 第六節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法 [考綱傳真]　1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題． 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立

2、．(　　) (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用．(　　) (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．(　　) (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(2016·銀川九中月考)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于(　　) A．1　　　　　　　 B.2 C．3 D.0 C　[因?yàn)橥筺邊形最小為三角形，所以第一步檢驗(yàn)n等于3，故選C.] 3．已

3、知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…－＝2時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證(　　) A．n＝k＋1時(shí)等式成立 B．n＝k＋2時(shí)等式成立 C．n＝2k＋2時(shí)等式成立 D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立 B　[k為偶數(shù)，則k＋2為偶數(shù)．] 4．(教材改編)已知{an}滿(mǎn)足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，則a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________. 3　4　5　n＋1 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋＋＋…＋1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推

4、證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是__________． 2k　[當(dāng)n＝k時(shí)，不等式為1＋＋＋…＋

5、么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，10分 ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).12分 [規(guī)律方法]　1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少． 2．由n＝k時(shí)命題成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸

6、納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證明過(guò)程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法． [變式訓(xùn)練1]　求證：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝， 右邊＝＝，左邊＝右邊.3分 (2)假設(shè)n＝k時(shí)等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋，6分 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋.10分 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 綜合(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*，等式成立.12分 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式·…·>均成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772233】 [證明]　(1

7、)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝；右邊＝.∵左邊>右邊，∴不等式成立.3分 (2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立， 即·…·>.6分 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，·…·>·＝ ＝> ＝＝.10分 ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.12分 [規(guī)律方法]　1.當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他方法不容易證明，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)命題成立，再證n＝k＋1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放

8、縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化． [變式訓(xùn)練2]　已知數(shù)列{an}，當(dāng)n≥2時(shí)，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋1a2.3分 (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，ak＋10.8分 又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴ak＋2－ak＋1<0， ∴ak＋2

9、.12分 歸納——猜想——證明 　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明通項(xiàng)公式的正確性． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772234】 [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0. ∴a1＝－1(a1>0).2分 當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0. ∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N*).5分 (2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k

10、≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立， 即ak＝－.7分 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝－， 即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立.10分 由①②可知對(duì)所有n∈N*，an＝－都成立.12分 [規(guī)律方法]　1.猜想{an}的通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確計(jì)算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng))；(2)證明ak＋1時(shí)，ak＋1的求解過(guò)程與a2，a3的求解過(guò)程相似，注意體會(huì)特殊與一般的辯證關(guān)系． 2．“歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題

11、時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性． [變式訓(xùn)練3]　(2016·洛陽(yáng)調(diào)研)已知數(shù)列{xn}滿(mǎn)足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論． [解]　由x1＝及xn＋1＝， 得x2＝，x4＝，x6＝， 由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列.3分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，已證命題成立.5分 (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)命題成立， 即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝－ ＝＝ >0，9分 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.

12、也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 結(jié)合(1)(2)知，對(duì)?n∈N*命題成立.12分 [思想與方法] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)． 2．在推證n＝k＋1時(shí)，可以通過(guò)湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)．此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要弄清n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系．在推證時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用分析法、綜合法、反證法等方法． [易錯(cuò)與防范] 1．第一步驗(yàn)證當(dāng)n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． 2．由n＝k時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題成立的過(guò)程中，一定要用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法． 3．解“歸納——猜想——證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)．否則將會(huì)做大量無(wú)用功．