2013-2017高考數(shù)學分類匯編-第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)

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1、 第十章 圓錐曲線 第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì) 題型115 橢圓的定義與標準方程 2013年 1．（2013廣東文9）已知中心在原點的橢圓的右焦點為，離心率等于，則的方程是 A． B． C． D． 2014年 1.（2014大綱文9）已知橢圓C：的左、右焦點為，，離心率為，過的直線交C于A，B兩點，若的周長為，則C的方程為（ ）. A． B． C． D． 2.（2014遼寧文15）已知橢圓：，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則 . 3.（2014遼寧文20）如圖所示，

2、圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為. （1）求點的坐標； （2）焦點在軸上的橢圓過點，且與直線交于，兩點，若的面積為，求的標準方程. 4.（2014天津文18）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為，上頂點為.已知. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過點的直線與該圓相切于點，.求橢圓的方程. 5. （2014新課標Ⅱ文20） 設(shè)分別是橢圓C：的左、右焦點，是上一點且與軸垂直.直線與的另一個交點為. （1）若直線的斜率為，求的離心率； （2）若直線在軸上的截距為，且，求.

3、 2015年 1.（2015廣東文8）已知橢圓（）的左焦點為，則（ ）. A． B． C． D． 1.解析 由左焦點為，可得. 由，即，得. 又，所以.故選B. 評注 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)． 2016年 1.（2016山東文21（1））已知橢圓的長軸長為，焦距為，求橢圓的方程. 1. 解析 設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以， 所以橢圓的方程為. 2.（2016四川文20（1））已知橢圓：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，求橢圓的方程. 2. 解析 由已知得， 又橢圓過點，故，解得 所以橢圓的方程是

4、 3.（2016天津文19（1））設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點，為橢圓的離心率，求橢圓的方程. 3.解析 （1）由，即，可得. 又，所以，因此，所以橢圓的方程為 2017年 1.（2017全國1文12）設(shè)，是橢圓長軸的兩個端點，若上存在點滿足，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 1.解析 因為在上存在點，滿足，所以.當點位于短軸端點時，取得最大值. ① 當時，如圖1所示，有，則，所以 ，解得； 圖1 圖2 ② 當時，如圖2示，

5、有，則，所以 ，解得. 綜上可得，的取值范圍是.故選A. 評注：先研究“橢圓，是長軸兩端點，位于短軸端點時，最大”這一結(jié)論. 圖3 如圖3所示，因為， 所以. 設(shè)，因為（中點弦的一個結(jié)論），所以（當且僅當，即時等號成立，此時位于短軸端點處）. 2.（2017山東卷文21）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為. （1）求橢圓的方程； （2）動直線交橢圓于，兩點，交軸于點.點是點關(guān)于的對稱點，圓的半徑為. 設(shè)為的中點，，與圓分別相切于點，，求的最小值. 2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得， 又當時，，得，所以，

6、. 因此橢圓方程為. (2) 設(shè)，，聯(lián)立方程 ， 得，由，得 . 且，因此，所以， 又，所以， 因為，所以. 令，故.所以. 令 ，所以. 當 時，，從而在上單調(diào)遞增. 因此，等號當且僅當時成立，此時，所以 ，. 設(shè)，則 ，所以的最小值為. 從而的最小值為，此時直線的斜率為. 綜上所述，當，時，取得最小值為. 題型116 橢圓離心率的值及取值范圍 2013年 1. （2013四川文9）從橢圓上一點向軸做垂線，垂足恰為左焦 點，是橢圓與軸正半軸的交點，是橢圓與軸正半軸的交點，且（是坐標原點），則該橢圓的離心率是（ ）. A. B.

7、 C. D. 2.（2013江蘇12）在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為， 右焦點為，右準線為，短軸的一個端點為，設(shè)原點到直線的距離為，到的 距離為，若，則橢圓的離心率為 . 2. (2013福建文15）橢圓的左、右焦點分別為 若直線 與橢圓的一個交點滿足則該橢圓的離心率等于 . 3.（2014北京文19）已知橢圓C：. （1）求橢圓C的離心率； （2）設(shè)O為原點，若點A在直線上，點B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值. F1 F2 O x y B C A 4.（2014江蘇17）如圖所示，在平面直

8、角坐標系中，，，分別是橢圓的左、右焦點，頂點的坐標為，連接并延長交橢圓于點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點，連接． （1）若點的坐標為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值． 2014年 1.（2014江西文14）設(shè)橢圓的左、右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于點，若，則橢圓的離心率等于 . 2. （2014安徽文21）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，. （1）若的周長為16，求； （2）若，求橢圓的離心率. 2015年 1.（2015福建文11）已知橢圓：的右焦點為．短軸的一個端 點為，直線交橢圓于兩

9、點．若，點到直線的 距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 設(shè)左焦點為，連接，，則四邊形是平行四邊形，故， 所以，所以.設(shè)，則，故. 所以，，，所以橢圓的離心率的取值范圍為. 故選A. 評注 1. 橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)；2. 點到直線距離公式． 2.（2015浙江文15）橢圓（）的右焦點關(guān)于直線的 對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是 ． 2. 解析 解法一:設(shè)，則，所以，又， 所以 ，所以，所以， 不妨取，所以中點，代入， 得，化簡得或，所以. 解法二:取左焦點，則：，所以原點到的距離

10、. 又到的距離，由題意知，，所以，所以. 3.（2015重慶文21）如圖所示，橢圓的左、右焦點分別為，， 過的直線交橢圓于，兩點，且. （1）若，，求橢圓的標準方程. （2）若，且， 試確定橢圓離心率的取值范圍. 3. 解析 （1）由橢圓的定義，，故. 設(shè)橢圓的半焦距為，由已知， 因此， 即，從而. 故所求橢圓的標準方程為. （2）由，，得. 由橢圓的定義，，， 進而.于是， 解得，故. 由勾股定理得， 從而， 兩邊除以，得. 若記，則上式變?yōu)? 由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得， 即.進而，即. 2016年 1.（2016全國乙文5）直線經(jīng)過橢圓的一個

11、頂點和一個焦點，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（ ）. A. B. C. D. 1. B 解析 由等面積法可得，故，從而.故選B. 2.（2016江蘇10）如圖所示，在平面直角坐標系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于兩點，且，則該橢圓的離心率是 . 2. 解析 由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，. 由，可得，，， 則，由，可得，則. 2017年 1.（2017全國3文11）已知橢圓的左、右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）. A． B． C

12、． D． 1.解析 因為直線與圓相切，即，整理得.令，則有，，，.故選A. 評注 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程，考查的知識點比較多，但總的難度不大，屬于跨板塊的綜合類問題，基礎(chǔ)中偏上的學生一般都能搞定. 2.（2017浙江卷2）橢圓的離心率是（ ）. A. B. C. D. 2.解析 由橢圓方程可得，，所以，所以，， .故選B． 題型117 橢圓的焦點三角形 2014年 1.（2014重慶文21）如圖所示，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，， ，的面積為. （1） 求該橢圓的標準方程； （2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由.