數(shù)學(xué)第四章 圖形的認識 4.5 特殊的平行四邊形（試卷部分）

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1、4.5特殊的平行四邊形中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (江蘇專用)考點考點1 1矩形矩形A A組組 2014-20182014-2018年年江蘇江蘇中考題組中考題組五年中考1.(2014南京,6,2分)如圖,在矩形AOBC中,點A的坐標是(-2,1),點C的縱坐標是4,則B、C兩點的坐標分別是()A.、B.、C.、D.、3,322,433,321,427 7,4 22,437 7,4 21,42答案答案B過點A作AA1x軸于點A1,過點B作BB1x軸于點B1,過點C作B1B的垂線,交B1B的延長線于點D,如圖所示,易知AOA1 BCD,所以BD=AA1=1,故點B的縱坐標是4-1=3,從而由AOA1OBB1

2、得=,即=,解得OB1=,所以B,故點C的橫坐標為-2=-,即C,故選B.11OABB11AAOB2311OB323,3232121,422.(2018連云港,16,3分)如圖,E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,連接AC、HE、EC、GA、GF,已知AGGF,AC=,則AB的長為.6答案答案2解析解析如圖,連接BD.四邊形ABCD是矩形,ADC=DCB=90,AC=BD=,CG=DG,CF=FB,GF=BD=,AGFG,AGF=90,AGD+CGF=90,又DAG+AGD=90,DAG=CGF,ADGGCF,61262=,設(shè)CF=BF=a,CG=DG=b,=,b

3、2=2a2,a0,b0,b=a,在RtGCF中,CF2+CG2=GF2,即3a2=,a=,b=1,AB=2b=2.故答案為2.ADGCDGCF2abba26422思路分析思路分析連接BD.由ADGGCF,可得=,設(shè)CF=BF=a,CG=DG=b,即=,可得b=a,在RtGCF中,利用勾股定理求出a,即可解決問題.ADGCDGCF2abba2解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵本題考查中點四邊形、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是綜合運用所學(xué)知識,連接對角線,運用相似、勾股定理列出方程解決問題.3.(2015蘇州,18,3分)如圖,四邊形ABCD為矩形,過點D作對角線BD的垂線,交BC

4、的延長線于點E,取BE的中點F,連接DF,DF=4.設(shè)AB=x,AD=y,則x2+(y-4)2的值為.答案答案16解析解析由題意知DF是RtBDE的中線,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,在RtCDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CD2+CF2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.評析評析本題考查勾股定理的應(yīng)用,直角三角形的性質(zhì),綜合性較強,對學(xué)生能力要求較高,屬難題.4.(2014蘇州,17,3分)如圖,在矩形ABCD中,=.以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交邊AD于點E,若AEED=,則矩形ABCD的面積為.AB

5、BC3543答案答案5解析解析連接BE,設(shè)AB=3k(k0),則BC=5k.在RtABE中,根據(jù)勾股定理可求出AE=4k,故ED=k,由題意可得4kk=,可得k2=,所以矩形ABCD的面積為ABBC=3k5k=15k2=15=5.4313135.(2017宿遷,26,10分)如圖,在矩形紙片ABCD中,已知AB=1,BC=,點E在邊CD上移動,連接AE,將多邊形ABCE沿直線AE翻折,得到多邊形ABCE,點B、C的對應(yīng)點分別為點B、C.(1)當BC恰好經(jīng)過點D時(如圖1),求線段CE的長;(2)若BC分別交邊AD,CD于點F,G,且DAE=22.5(如圖2),求DFG的面積;(3)在點E從點C

6、移動到點D的過程中,求點C運動的路徑長.3解析解析(1)如題圖1,設(shè)CE=EC=x,則DE=1-x,ADB+EDC=90,BAD+ADB=90,BAD=EDC,又B=C=90,ADBDEC,=,AB=AB=1,AD=,DB=,=,x=-2,CE=-2.(2)如題圖2,BAD=B=D=90,DAE=22.5,ADDEDBEC33 1231x2x66EAB=EAB=67.5,BAF=BFA=45,DFG=AFB=DGF=45,DF=DG.在RtABF中,AB=FB=1,AF=AB=,DF=DG=-,SDFG=(-)2=-.(3)如圖,點C運動的路徑長為的長,在RtADC中,tanDAC=,DAC=

7、30,AC=2CD=2,22321232526CCCDAD33CAD=DAC=30,CAC=60,的長=.CC60218023解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、弧長公式等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形.6.(2017無錫,28,8分)如圖,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,動點P從點D出發(fā),在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動,連接CP,作點D關(guān)于直線PC的對稱點E,設(shè)點P的運動時間為t(s).(1)若m=6,求當P、E、B三點在同一直線上時對應(yīng)的t的值;(2)已知m滿足:在動點P從點D到點A的整個運動過程中,有且只有一個時刻t,使點E到直線

8、BC的距離等于3,求所有這樣的m的取值范圍.解析解析(1)如圖,設(shè)PD=t,則PA=6-t.由題意知EPC=DPC,P、E、B三點共線,BPC=DPC,ADBC,DPC=PCB,BPC=PCB,BP=BC=6,在RtABP中,AB2+AP2=PB2,42+(6-t)2=62,解得t=6-2或6+2(舍去),PD=6-2,當t=6-2時,P、E、B三點共線.(2)如圖,當點P與點A重合,點E在BC的下方,點E到BC的距離為3時,作EQBC于Q,EMDC交DC的延長線于M,則EQ=3,CE=DC=4.易證四邊形EMCQ是矩形,5555CM=EQ=3,M=90,EM=,易知DAC=EDM,又ADC=

9、M,ADCDME,=,即=,AD=4,如圖,當點P與點A重合,點E在BC的上方,點E到BC的距離為3時,作EQBC交CB的延長線于Q,延長QE交DA的延長線于M,則EQ=3,CE=DC=4.圖3在RtECQ中,QC=DM=,22ECCM22437ADDMDCEM7AD47722437易證DMECDA,=,即=,AD=.綜上所述,在動點P從點D到點A的整個運動過程中,有且只有一個時刻t,使點E到直線BC的距離等于3,所有這樣的m的取值范圍為m0),則DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,221322解得x=-(負值舍去),即AP=-

10、;點P在AB上時,PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan30=6=2.綜上所述,AP的長為2,-或2.1421423331423思路分析思路分析根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫出符合題意的三種情況,根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵熟記正方形的性質(zhì),分析符合題意的情況,并準確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.易錯警示易錯警示此題沒有給出圖形,需將點P的位置分類討論,做題時,往往會因只畫出點P在正方形邊上而致錯.5.(2017甘肅蘭州,19,4分)在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,要使四邊形ABCD是正

11、方形,還需添加一組條件.下面給出了四組條件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正確的序號是(寫出所有正確的序號).答案答案解析解析有一個角是直角的平行四邊形是矩形,有一組鄰邊相等的矩形是正方形,即正確.BD為平行四邊形的對角線,AB為平行四邊形的一條邊,所以當AB=BD時,平行四邊形不可能是正方形,即錯誤.對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形.由OB=OC,得對角線相等,即AC=BD,由OBOC,得ACBD,即平行四邊形ABCD為正方形,即正確.鄰邊相等的平行四邊形是菱形,對角線相等的菱形是正方形,即正確.6.(2016廣東廣

12、州,16,3分)如圖,正方形ABCD的邊長為1,AC,BD是對角線.將DCB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45得到DGH,HG交AB于點E,連接DE交AC于點F,連接FG,則下列結(jié)論:四邊形AEGF是菱形;AED GED;DFG=112.5;BC+FG=1.5.其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號)答案答案解析解析由題可知DGH DCB,DH=DB,DHG=DBC=45,DGH=DCB=90,DG=DC=AD,又DAC=45,DAC=DHG,AFEG.在RtAED和RtGED中,AD=GD,ED=ED,RtAED RtGED,ADE=GDE,故正確;在ADF與GDF中,AD=GD,ADF=GDF,FD

13、=FD,ADF GDF,AF=GF,DGF=DAF=45,又DBA=45,FGAE,四邊形AEGF是平行四邊形,又AF=GF,平行四邊形AEGF是菱形,故正確;GDF=ADB=22.5,DGF=45,DFG=112.5,故正確;FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD=-1,BC+FG=1+-1=,故不正確.12222評析評析本題考查了平行四邊形、三角形的知識,借助旋轉(zhuǎn)把這些知識融合在一起,考查了學(xué)生把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形來解決問題的能力.7.(2016天津,17,3分)如圖,在正方形ABCD中,點E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,點M,F,Q都在對角線BD上,且四邊形MN

14、PQ和AEFG均為正方形,則的值等于.MNPQAEFGSS正方形正方形答案答案89解析解析由題意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2,=.23122914MNPQAEFGSS正方形正方形2914898.(2015廣西南寧,16,3分)如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊ADE,則BED的度數(shù)為.答案答案45解析解析由題意可知,BAE=150,BA=AE,AEB=15.BED=45.9.(2015吉林長春,13,3分)如圖,點E在正方形ABCD的邊CD上.若ABE的面積為8,CE=3,則線段

15、BE的長為.答案答案5解析解析四邊形ABCD是正方形,AB=BC,C=90.ABE的面積為8,ABBC=8,AB2=8.AB=4.BC=AB=4.CE=3,BE=5.1212223410.(2015河南,15,3分)如圖,正方形ABCD的邊長是16,點E在邊AB上,AE=3,點F是邊BC上不與點B,C重合的一個動點,把EBF沿EF折疊,點B落在B處.若CDB恰為等腰三角形,則DB的長為.答案答案16或45解析解析分三種情況討論:(1)若DB=DC,則DB=16(易知此時點F在BC上且不與點C、B重合).(2)當CB=CD時,連接BB,EB=EB,CB=CB,點E、C在BB的垂直平分線上,EC垂

16、直平分BB,由折疊可知點F與點C重合,不符合題意,舍去.(3)如圖,當CB=DB時,作BGAB于點G,延長GB交CD于點H.ABCD,BHCD,則四邊形AGHD為矩形,AG=DH.CB=DB,DH=CD=8,AG=DH=8,GE=AG-AE=5.又易知EB=13,在RtBEG中,由勾股定理得BG=12,BH=GH-BG=4.在RtBDH中,由勾股定理得DB=4(易知此時點F在BC上且不與點C、B重合).綜上所述,DB=16或4.125511.(2018北京,27,7分)如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一動點(不與點A,B重合),連接DE,點A關(guān)于直線DE的對稱點為F,連接EF并延長交B

17、C于點G,連接DG,過點E作EHDE交DG的延長線于點H,連接BH.(1)求證:GF=GC;(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明.解析解析(1)證明:如圖,連接DF.四邊形ABCD為正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.又點A關(guān)于直線DE的對稱點為F,ADE FDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在RtDFG和RtDCG中,DGDGDFDCRtDFG RtDCG(HL),GF=GC.(2)線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系:BH=AE.證明:在線段AD上截取AM,使AM=AE,連接ME.AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC=90,21+2+3

18、+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH=45.EHDE,DE=EH,DEH=90,A=90,1+AED=90,5+AED=90,1=5.在DME和EBH中,DME EBH(SAS),ME=BH.A=90,AM=AE,ME=AE,15,DMEBDEEH 2BH=AE.2思路分析思路分析本題第(1)問需要通過正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)解決;本題第(2)問需要通過構(gòu)造全等三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解決本題第(2)問的關(guān)鍵是要通過截取得到等腰直角三角形,并借助SAS證明三角形全等,從而將BH和AE轉(zhuǎn)化到AME中證明數(shù)量關(guān)系.C C組教師專用題組組教師專用題組考點

19、考點1 1矩形矩形1.(2015山東臨沂,12,3分)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,延長AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,DB.添加一個條件,不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A.AB=BEB.BEDCC.ADB=90D.CEDE答案答案B四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四邊形DBCE是平行四邊形.若AB=BE,則CD=BE,則平行四邊形DBCE是矩形.若CEDE,即DEC=90,則平行四邊形DBCE是矩形.若ADB=90,則BDE=90,則平行四邊形DBCE是矩形.當BEDC時,平行四邊形DBCE是菱形.故選B.2

20、.(2015江西南昌,5,3分)如圖,小賢為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性,將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD,B與D兩點之間用一根拉直固定,然后向右扭動框架,觀察所得四邊形的變化.下列判斷的是()A.四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝.BD的長度增大C.四邊形ABCD的面積不變D.四邊形ABCD的周長不變橡皮筋錯誤答案答案C向右扭動框架ABCD的過程中,AD與BC的距離逐漸減小,即 ABCD的高發(fā)生變化,所以面積改變,選項C錯誤,故選C.3.(2015黑龍江哈爾濱,19,3分)在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,點E,F在直線AD上,且四邊形BCFE為菱形,若線段EF的中點為點M,則線段A

21、M的長為.答案答案5.5或0.5解析解析如圖,依題意知BE=BC=5,則AE=3,又EF=5,M是EF的中點,則EM=2.5,AM=3+2.5=5.5.圖如圖,同理,FD=3,MF=2.5,則DM=DF+FM=3+2.5=5.5,AM=DM-DA=5.5-5=0.5.圖綜上,線段AM的長為5.5或0.5.4.(2015重慶,18,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,連接BD,DBC的角平分線BE交DC于點E,現(xiàn)把BCE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的BCE為BCE.當射線BE和射線BC都與線段AD相交時,設(shè)交點分別F,G.若BFD為等腰三角形,則線段DG長為.6答案答案9817解析

22、解析過點F作FHBD交BG的延長線于點H,在矩形ABCD中,BD=14,ADBC,ADB=DBC,BE平分DBC,FBG=EBC=DBC,FBG=FDB,由題可得BF=FD,FBD=FDB,FBG=FBD,FBG=GBD,FHBD,H=GBD,H=FBG,FB=FH=FD,設(shè)FD=x(x0),在RtABF中,由勾股定理得BF2=AF2+AB2,即x2=(10-x)2+(4)2,解得x=,FB=FH=FD=.FHBD,FHGDBG,=,設(shè)GD=y(y0),=,解得y=,GD=.22(4 6)101212126495495FHBDFGGD49514495yy98179817評析評析本題重點考查勾股

23、定理,矩形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定,方程思想等,綜合性較強,屬于難題.5.(2014遼寧沈陽,16,4分)如圖, ABCD中,ABAD,AE,BE,CM,DM分別為DAB,ABC,BCD,CDA的平分線,AE與DM相交于點F,BE與CM相交于點H,連接EM,若 ABCD的周長為42cm,FM=3cm,EF=4cm,則EM=cm,AB=cm.答案答案5;13解析解析由題意可得四邊形EFMH是矩形,所以EM=5cm.如圖,延長CM交AB于點I,延長AE交CD于點J,連接FH,易證BHI BHC,所以BC=BI,CH=HI,則H為IC的中點.同理,AD=DJ,F為AJ的中點.所以AI=FH=E

24、M=5cm.因為 ABCD的周長為42cm,所以AB+BC=21cm,所以2BC+AI=21cm,所以BC=8cm,AB=13cm.22EFFM評析評析本題考查平行四邊形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),屬較難題.6.(2014河南,15,3分)如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.點E為DC上一個動點,把ADE沿AE折疊,當點D的對應(yīng)點D落在ABC的角平分線上時,DE的長為.答案答案或5352解析解析作BF平分ABC交CD于點F,作AGBF于點G,由題意知AG=ABsin45=,5,D是以A為圓心,AD長為半徑的圓弧與BF的交點,易知有兩種情況,第一種情況:如圖,圖在RtAGD中,DG=,7 2

25、27 2222D AAG22BD=+=4,DF=BF-DB=5-4=,作DHCD,垂足為H.在RtDFH中,易求得FH=HD=1,DH=DF+FH=3,設(shè)DE=x,則DE=x,EH=3-x,在RtEHD中,EH2+DH2=DE2,即(3-x)2+12=x2,解得x=,即DE=,第二種情況:如圖,7 222222225353圖作DHCD,垂足為H,同理求得DE=.綜上所述,DE的長為或.525352評析評析本題是以矩形為載體,以折疊為背景的求線段長問題,主要考查矩形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),角平分線,勾股定理的運用,依據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵,本題屬難題.7.(2018云南昆明,23,12分)如圖

26、1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(DPCP),APB=90,將ADP沿AP翻折得到ADP,PD的延長線交邊AB于點M,過點B作BNMP交DC于點N.(1)求證:AD2=DPPC;(2)請判斷四邊形PMBN的形狀,并說明理由;(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點E,F.若=,求的值.DPAD12EFAE解析解析(1)證明:在矩形ABCD中,AD=BC,C=D=90,DAP+APD=90,APB=90,CPB+APD=90,DAP=CPB,(1分)ADPPCB,=,(2分)ADCB=DPPC.AD=BC,AD2=DPPC.(3分)(2)四邊形PMBN為菱形,理由如下:(4分)在矩形A

27、BCD中,CDAB,BNPM,四邊形PMBN為平行四邊形,ADPCDPCBADP沿AP翻折得到ADP,APD=APM,CDAB,APD=PAM,APM=PAM,(6分)APB=90,PAM+PBA=90,APM+BPM=90,又APM=PAM,PBA=BPM,PM=MB.又四邊形PMBN為平行四邊形,四邊形PMBN為菱形.(7分)(3)解法一:APM=PAM,PM=AM,PM=MB,AM=MB,四邊形ABCD為矩形,CDAB且CD=AB,設(shè)DP=a,則AD=2DP=2a,由AD2=DPPC得PC=4a,DC=AB=5a,(8分)MA=MB=,CDAB,ABF=CPF,BAF=PCF,BFAPF

28、C,=,(9分)=,同理可得MEAPEC,52aAFCFABCP54aa54AFAC59=,=,(10分)=-=-=,(11分)=,=.(12分)解法二:過點F作FGPM,交MB于點G.APM=PAM,AECEAMCP524aa58AEAC513EFACAFACAEAC5951320117EFACAEACEFAEEFAE2011751349PM=AM,PM=MB,AM=MB,四邊形ABCD為矩形,CDAB且CD=AB,設(shè)DP=a,則AD=2DP=2a,由AD2=DPPC得PC=4a,DC=AB=5a,(8分)MA=MB=.CDAB,CPF=ABF,PCF=BAF,PFCBFA,=,(9分)FG

29、PM,52aPFBFCPAB45aa45=,(10分)=,AM=MB,=,FGPM,=.(12分)MGBGPFBF45MGMB49MGAM49EFAEMGAM49思路分析思路分析(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及所給條件,證明ADPPCB,從而得AD2=DPPC;(2)由翻折得APD=APM,由等角的余角相等得PBA=BPM,從而得PM=MB,進而易得四邊形PMBN為菱形;(3)解法一:設(shè)DP=a,則可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,由CDAB,可得BFAPFC,MEAPEC,所以=,=,進而可得的值.解法二:過點F作FGPM,交MB于點G,設(shè)DP=a,可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,

30、MA=MB=,根據(jù)CDAB,FGPM,AM=MB這些條件可求得的值.AFAC59AEAC513EFAE52aEFAE解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵本題主要考查了矩形的性質(zhì),軸對稱,菱形的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,題目綜合性強、計算量大,屬難題.解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條件,進而推理、論證、計算,使題目得以解答.8.(2015山東聊城,21,8分)如圖,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四邊形ABED是平行四邊形,DE交BC于點F,連接CE.求證:四邊形BECD是矩形.證明證明AB=BC,BD平分ABC,BDAC,AD=CD.(2分)四邊形ABED是平行四邊形,BEAD,

31、BE=AD,(4分)BE=CD.四邊形BECD是平行四邊形.(6分)BDAC,BDC=90, BECD是矩形.(8分)9.(2016寧夏,26,10分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿AB向點B移動;同時點P從點B出發(fā),仍以每秒1個單位的速度,沿BC向點C移動,連接QP,QD,PD.若兩個點同時運動的時間為x秒(03(不合題意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分)解法二:若存在x,使得QPDP,則RtQBPRtPCD,=,即=,整理,得x2-7x+9=0,(8分)解得x=或x=3(不合題意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分)713271

32、32QBPCBPCD34xx3x71327132評析評析本題是以矩形為載體的動點問題.主要考查矩形的性質(zhì),三角形的面積等.解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示各線段的長.屬難題.10.(2015吉林長春,22,9分)在矩形ABCD中,已知ADAB.在邊AD上取點E,使AE=AB,連接CE.過點E作EFCE,與邊AB或其延長線交于點F.猜想:如圖,當點F在邊AB上時,線段AF與DE的大小關(guān)系為.探究:如圖,當點F在邊AB的延長線上時,EF與邊BC交于點G.判斷線段AF與DE的大小關(guān)系,并加以證明.應(yīng)用:如圖,若AB=2,AD=5,利用探究得到的結(jié)論,求線段BG的長.解析解析猜想:AF=DE.(2分)探

33、究:AF=DE.證明:EFCE,CEF=90.1+2=90.四邊形ABCD為矩形,A=D=90,AB=CD.2+3=90.1=3.AE=AB,AE=DC.AEF DCE.AF=DE.(6分)應(yīng)用:AF=DE=AD-AE=5-2=3,BF=AF-AB=3-2=1.在矩形ABCD中,ADBC,FBGFAE.=,即=.BG=.(9分)BGAEFBFA2BG132311.(2015北京,22,5分)在 ABCD中,過點D作DEAB于點E,點F在邊CD上,DF=BE,連接AF,BF.(1)求證:四邊形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分DAB.證明證明(1)在 ABCD中

34、,ABCD,DF=BE,四邊形BFDE為平行四邊形.DEAB,DEB=90.四邊形BFDE是矩形.(2)由(1)可得,BFC=90.在RtBFC中,由勾股定理可得BC=5.AD=BC=5.AD=DF.DAF=DFA.ABCD,DFA=FAB.DAF=FAB.AF平分DAB.12.(2014內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)如圖,四邊形ABCD是矩形,把矩形沿AC折疊,點B落在點E處,AE與DC的交點為O,連接DE.(1)求證:ADE CED;(2)求證:DEAC.證明證明(1)四邊形ABCD是矩形,AD=BC,AB=CD.又AC是折痕,BC=CE=AD,(1分)AB=AE=CD,(2分)又DE=ED

35、,ADE CED.(3分)(2)ADE CED,EDC=DEA,又ACE與ACB關(guān)于AC所在直線對稱,OAC=CAB,而OCA=CAB,OAC=OCA,(5分)2OAC=2DEA,(6分)OAC=DEA,DEAC.(7分)評析評析本題考查軸對稱變換(折疊問題),矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),屬容易題.13.(2014重慶,26,12分)已知:如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AEBD,垂足是E.點F是點E關(guān)于AB的對稱點,連接AF、BF.(1)求AE和BE的長;(2)若將ABF沿著射線BD方向平移,設(shè)平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度),當點F分別平移到線

36、段AB、AD上時,直接寫出相應(yīng)的m的值;(3)如圖,將ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角(0180),記旋轉(zhuǎn)中的ABF為ABF,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)AF所在的直線與直線AD交于點P,與直線BD交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點,使DPQ為等腰三角形?若存在,求出此時DQ的長;若不存在,請說明理由.203解析解析(1)AB=5,AD=,由勾股定理得BD=.(1分)ABAD=SABD=BDAE,5=AE,解得AE=4,(3分)BE=3.(4分)(2)當點F在線段AB上時,m=3;(6分)當點F在線段AD上時,m=.(8分)(3)存在.理由如下:當DP=DQ時,若點Q在線段BD的延長線上,如圖1,有Q=1,2

37、0322ABAD2220532531212122031225322ABAE2254163圖1則2=1+Q=2Q.3=4+Q,3=2,4+Q=2Q,4=Q,AQ=AB=5,FQ=4+5=9.在RtBFQ中,92+32=,+DQ=3,DQ=3-或DQ=-3-(舍).(9分)若點Q在線段BD上,如圖2,2253DQ253101025310253圖2有1=2=4.1=3,3=4,3=5+A,A=CBD,3=5+CBD=ABQ,4=ABQ,AQ=AB=5,FQ=5-4=1,BQ=.DQ=-.(10分)當QP=QD時,如圖3,有P=1,圖3A=1,2=3,4=P,4=A,QB=QA,設(shè)QB=QA=x,22

38、311025310在RtBFQ中,32+(4-x)2=x2,解得x=,DQ=-=.(11分)當PD=PQ時,如圖4,有1=2=3,1=A,圖43=A,BQ=AB=5,DQ=-5=.綜上,當DPQ是等腰三角形時,DQ的值為3-,-,.(12分)25825325812524253103102532531012524103考點考點2 2菱形菱形1.(2018陜西,8,3分)如圖,在菱形ABCD中,點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點,連接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是()A.AB=EFB.AB=EFC.AB=2EFD.AB=EF235答案答案D如圖,連接A

39、C、BD交于O,四邊形ABCD是菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點,EF=AC,EH=BD,EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA,AB=OA,易知OA=EF,AB=EF,故選D.121222OBOA55思路分析思路分析首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根據(jù)三角形中位線定理得出EF=AC,EH=BD,進而得到OB=2OA,最后根據(jù)勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF.1212552.(2015福建龍巖,10,4分)如圖,菱形ABCD的周長為16,ABC=120,則AC的長為()A.4B.4C.2D.233答

40、案答案A設(shè)AC與BD相交于點O,四邊形ABCD是菱形,且其周長為16,ABC=120,AB=4,ACBD,AC=2AO,ABO=60,則在RtABO中,AO=ABsin60=2,AC=4,故選A.333.(2015甘肅蘭州,10,4分)如圖,菱形ABCD中,AB=4,B=60,AEBC,AFCD,垂足分別為E,F,連接EF,則AEF的面積是()A.4B.3C.2D.3333答案答案B連接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,B=60,ABC是等邊三角形,AEBC,AE=2,EAC=30,同理可得AF=2,CAF=30,則EAF為等邊三角形,SAEF=(2)2=3.故選B.3334334.(201

41、5遼寧沈陽,7,3分)順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點,所形成的四邊形是()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形答案答案B如圖,在ABD中,E,F分別是AB,AD的中點,EF是ABD的中位線,EF=BD,同理,GH=BD,EH=AC,FG=AC,AC=BD,EF=FG=HG=HE,四邊形EFGH是菱形.12121212評析評析順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是中點四邊形.中點四邊形一定是平行四邊形,它的其他特征取決于原四邊形對角線的特點:若原四邊形的對角線互相垂直,則中點四邊形的各角為直角;若原四邊形的對角線相等,則中點四邊形的各邊相等.5.(2014上海,6,4分)如圖,已知AC、

42、BD是菱形ABCD的對角線,那么下列結(jié)論一定正確的是()A.ABD與ABC的周長相等B.ABD與ABC的面積相等C.菱形ABCD的周長等于兩條對角線長之和的兩倍D.菱形ABCD的面積等于兩條對角線長之積的兩倍答案答案B解法一:由題圖可知SABD=S菱形ABCD,SABC=S菱形ABCD,所以SABD=SABC.解法二:ABC和ABD是同底等高的兩個三角形,所以SABC=SABD.12126.(2014陜西,9,3分)如圖,在菱形ABCD中,AB=5,對角線AC=6.若過點A作AEBC,垂足為E,則AE的長為()A.4B.C.D.5125245答案答案C連接BD,交AC于點O,四邊形ABCD是菱

43、形,ACBD,AB=5,AC=2AO=6,OB=4,BD=2OB=8.S菱形ABCD=68=24.S菱形ABCD=BCAE,BC=AB=5,AE=,故選C.2253122457.(2014山東煙臺,6,3分)如圖,在菱形ABCD中,M,N分別在AB,CD上,且AM=CN,MN與AC交于點O,連接BO.若DAC=28,則OBC的度數(shù)為()A.28B.52C.62D.72答案答案CAOM=CON,MAO=NCO,AM=CN,AOM CON,AO=CO,點O是菱形ABCD對角線的交點,BOAC,OBC=90-BCO=90-DAC=90-28=62.8.(2014浙江寧波,6,4分)菱形的兩條對角線長

44、分別是6和8,則此菱形的邊長是()A.10B.8C.6D.5答案答案D四邊形ABCD是菱形(如圖),AC=8,BD=6,OB=OD=3,OA=OC=4,ACBD,在RtAOB中,由勾股定理得AB=5,即此菱形的邊長是5,故選D.22AOOB22439.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,16,3分)如圖,已知正方形ABCD,點M是邊BA延長線上的動點(不與點A重合),且AM45,所以無論點M運動到何處,CHM一定大于135,故正確.所以都正確.2思路分析思路分析點E在運動的過程中,CBA=CHE=90,故B、E、H、C四點共圓,作出圖形,再進行判斷.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要借助中點發(fā)現(xiàn)輔助圓.

45、10.(2017南京,15,2分)如圖,四邊形ABCD是菱形,O經(jīng)過點A、C、D,與BC相交于點E,連接AC、AE.若D=78,則EAC=.答案答案27解析解析四邊形ABCD是菱形,ADBC,CA平分DCB.D=78,DCB=180-D=102,ACE=DCB=51.A、E、C、D四點共圓,D+AEC=180,AEC=102.在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27.12解后反思解后反思本題綜合考查菱形的性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì),掌握這兩個性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.11.(2014四川成都,24,4分)如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,A=60,M是AD邊的

46、中點,N是AB邊上一動點,將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN,連接AC,則AC長度的最小值是.答案答案-17解析解析過點M作MFCD交CD的延長線于F.由題意可知MA、MA是定值,AC的長度最小時,A在MC上(如圖).菱形ABCD的邊長為2,A=60,M是AD的中點,MD=MA=1,MDF=60.MF=MDsin60=,DF=MDcos60=.CF=CD+DF=.在RtMFC中,由勾股定理得MC=.AMN沿MN所在直線翻折得到AMN,MA=MA=1.AC=MC-MA=-1.故答案為-1.32125222MFCF777評析評析本題是一道以菱形為依托的動點探究問題,主要考查菱形、軸對稱(翻折)、

47、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.根據(jù)已知分析確定點A的位置是本題的解題關(guān)鍵.12.(2018江西,22,9分)在菱形ABCD中,ABC=60,點P是射線BD上一動點,以AP為邊向右側(cè)作等邊APE,點E的位置隨著點P的位置變化而變化.(1)如圖1,當點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時,連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系是,CE與AD的位置關(guān)系是;(2)當點E在菱形ABCD外部時,(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理).(3)如圖4,當點P在線段BD的延長線上時,連接BE,若AB=2,BE=2,求四邊形ADPE的面積.319圖

48、4解析解析(1)相等(或BP=CE);垂直(或CEAD).(2)成立.證明:如圖,連接AC,交BD于點O.當點P在線段OD上時,四邊形ABCD為菱形,ABC=60,AB=BC,ABD=30,ABC為等邊三角形,BAC=60,AB=AC.APE為等邊三角形,AP=AE,PAE=60.BAC+PAC=PAE+PAC.即BAP=CAE.在APB與AEC中,ABP ACE,BP=CE,ACE=ABP=30.ACD為等邊三角形,ACE=DCE=30,CEAD.當點P在BD延長線上時,證明方法同第一種情況.(3)如圖,連接AC,CE,設(shè)AD與CE交于點M,ABACBAPCAEAPAE 由(2)可得BAP

49、CAE,BP=CE,CEAD,ACE=ABP=30.ABC為等邊三角形,ACB=60,BCE=90.BC=AB=2,BE=2,CE=8.BP=8.ADC為等邊三角形,且邊長為2,AM=,CM=3.EM=8-3=5.AE=2.S等邊AEP=(2)2=7.設(shè)AC與BD交于點O,菱形ABCD的邊長為2,BD=6,AO=,31922BEBC76 123322AMEM22( 3)5287347333DP=8-6=2.SADP=2=.S四邊形ADPE=7+=8.1233333思路分析思路分析(1)根據(jù)菱形ABCD中,ABC=60,可得ABC和ACD為等邊三角形,ABP=30,由于APE為等邊三角形,可利用

50、SAS證得BAP CAE,進而得出PB=EC,ABP=ACE=30,進一步得出DCE=ACE=30,依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CEAD;(2)結(jié)論仍然成立,證明方法同上;(3)首先根據(jù)AB=BC=2,BE=2,求出CE=BP=8,進而求出EM,AE的長,最后分別求出DAP和PAE的面積,即可得解.319方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法,類比探究的第一問往往是特殊圖形,解決的方法可能不止一種,但總有一種方法是可以照搬到后面幾問,其中所涉及的三角形全等或相似,要尋找的等量關(guān)系或添加的輔助線均類似.同時,要注意挖掘題干中不變的幾何特征,根據(jù)特征尋方法.13.(2015湖南郴

51、州,23,8分)如圖,AC是 ABCD的一條對角線,過AC中點O的直線分別交AD,BC于點E,F.(1)求證:AOE COF;(2)當EF與AC滿足什么條件時,四邊形AFCE是菱形?并說明理由.解析解析(1)證明:在 ABCD中,ADBC,EAO=FCO.(1分)點O是AC的中點,AO=CO.(2分)又EOA=FOC,(3分)AOE COF.(4分)(2)當EFAC時,四邊形AFCE是菱形.(5分)理由如下:由(1)知AOE COF,OE=OF.又AO=CO,四邊形AFCE是平行四邊形.(7分)當EFAC時,四邊形AFCE是菱形.(8分)14.(2015吉林長春,18,7分)如圖,CE是ABC

52、外角ACD的平分線.AFCD交CE于點F,FGAC交CD于點G.求證:四邊形ACGF是菱形.證明證明AFCD,FGAC,四邊形ACGF是平行四邊形.(3分)CE平分ACD,1=2.AFCD,2=3.1=3.AF=AC.四邊形ACGF是菱形.(7分)15.(2015江西南昌,20,8分)(1)如圖1,紙片 ABCD中,AD=5,S ABCD=15.過點A作AEBC,垂足為E,沿AE剪下ABE,將它平移至DCE的位置,拼成四邊形AEED,則四邊形AEED的形狀為()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如圖2,在(1)中的四邊形紙片AEED中,在EE上取一點F,使EF=4,剪下AEF,將它

53、平移至DEF的位置,拼成四邊形AFFD.求證:四邊形AFFD是菱形;求四邊形AFFD的兩條對角線的長.解析解析(1)C.(2分)(2)AD=5,S ABCD=15,AE=3.又在下圖中,EF=4,在RtAEF中,AF=5.AF=AD=5.又由AEF平移得到DEF,AFDF,AF=DF,四邊形AFFD是平行四邊形.又AF=AD,四邊形AFFD是菱形.(5分)如圖,連接AF,DF.22AEEF2234在RtDEF中,EF=EE-EF=5-4=1,DE=3,DF=.(6分)在RtAEF中,EF=EE+EF=5+4=9,AE=3,AF=3.(8分)22131022391016.(2014河北,23,1

54、1分)如圖,ABC中,AB=AC,BAC=40,將ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100得到ADE,連接BD,CE交于點F.(1)求證:ABD ACE;(2)求ACE的度數(shù);(3)求證:四邊形ABFE是菱形.解析解析(1)證明:如圖,由旋轉(zhuǎn)可知,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=100.AB=AC,AD=AE.ABD ACE.(4分)(2)AC=AE,CAE=100,2=3=40.即ACE=40.(7分)(3)證明:1=2=40,ABCE.同樣有4=5,則AEBD.四邊形ABFE為平行四邊形.(9分)AB=AD,AD=AE,AB=AE.(10分)四邊形ABFE為菱形.(11分)17.(201

55、5貴州遵義,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中點,E是AD的中點.過點A作AFBC交BE的延長線于點F.(1)求證:AEF DEB;(2)證明四邊形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.解析解析(1)證明:在RtABC中,BAC=90,D是BC的中點,AD=BC=DC=BD.(1分)AFBC,DBE=AFE,E是AD的中點,ED=EA.又BED=FEA,(2分)BDE FAE(AAS).(3分)(2)證明:由(1)知AF=BD=DC,(4分)AFDC,四邊形ADCF是平行四邊形.(5分)又AD=DC,四邊形ADCF是菱形.(6分)(3)解法一:

56、連接DF,12AFDC,BD=CD,AFBD,(7分)四邊形ABDF是平行四邊形,DF=AB=5,(8分)S菱形ADCF=ACDF=45=10.(10分)解法二:在RtABC中,AC=4,AB=5,BC=,(7分)設(shè)BC邊上的高為h,則BCh=ABAC,(8分)1212411212h=,(9分)S菱形ADCF=DCh=10.(10分)20 414141220 414118.(2014北京,19,5分)如圖,在 ABCD中,AE平分BAD,交BC于點E,BF平分ABC,交AD于點F,AE與BF交于點P,連接EF,PD.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,ABC=60,求

57、tanADP的值.解析解析(1)證明:BF是ABC的平分線,ABF=EBF.ADBC,AFB=EBF.AFB=ABF.AB=AF.同理,AB=BE.AF=BE.又AFBE,四邊形ABEF是平行四邊形.AB=AF,四邊形ABEF是菱形.(2)過點P作PGAD于點G,如圖.四邊形ABEF是菱形,ABC=60,ABE是等邊三角形.AB=4,AE=AB=4,AP=AE=2.在RtAGP中,可求得PAG=60.AG=APcos60=1,GP=APsin60=.AD=6,123DG=5,tanADP=.GPDG3519.(2014山東青島,24,12分)已知:如圖,菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點

58、O,且AC=12cm,BD=16cm.點P從點B出發(fā),沿BA方向勻速運動,速度為1cm/s;同時,直線EF從點D出發(fā),沿DB方向勻速運動,速度為1cm/s,EFBD,且與AD,BD,CD分別交于點E,Q,F;當直線EF停止運動時,點P也停止運動.連接PF,設(shè)運動時間為t(s)(0t8).解答下列問題:(1)當t為何值時,四邊形APFD是平行四邊形?(2)設(shè)四邊形APFE的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形APFE S菱形ABCD=17 40?若存在,求出t的值,并求出此時P,E兩點間的距離;若不存在,請說明理由.解析解析(1)四邊形ABCD是菱形

59、,ABCD,ACBD,OA=OC=AC=6cm,OB=OD=BD=8cm.在RtAOB中,AB=10cm.EFBD,FQD=COD=90.又FDQ=CDO,DFQDCO.=.即=,DF=tcm.四邊形APFD是平行四邊形,AP=DF.即10-t=t,解這個方程,得t=.12122268DFDCQDOD10DF8t5454409答:當t=時,四邊形APFD是平行四邊形.(4分)(2)過點C作CGAB于點G,S菱形ABCD=ABCG=ACBD,即10CG=1216,CG=cm.4091212485S梯形APFD=(AP+DF)CG=cm2.DFQDCO,=.即=,QF=tcm.同理,EQ=tcm.

60、EF=QF+EQ=tcm.SEFD=EFQD=tt=t2cm2.y=-t2=-t2+t+48.(8分)(3)若S四邊形APFE S菱形ABCD=17 40,則-t2+t+48=96,12125104tt 4856485tQDODQFOC8t6QF343432121232346485t34346534651740即5t2-8t-48=0,解這個方程,得t1=4,t2=-(舍去).過點P作PMEF于點M,PNBD于點N,當t=4時,PBNABO,125=,即=.PN=cm,BN=cm.EM=EQ-MQ=3-=cm,PM=BD-BN-DQ=16-4=cm.在RtPME中,PE=cm.(12分)PNA

61、OPBABBNBO6PN4108BN1251651253516544522PMEM224435519455評析評析本題主要考查菱形和四邊形的面積,是動態(tài)幾何的典型題目,中考中常以壓軸題目出現(xiàn),也是幾何背景下的函數(shù)應(yīng)用題.20.(2014浙江杭州,22,12分)菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AC=4,BD=4.動點P在線段BD上從點B向點D運動,PFAB于點F,四邊形PFBG關(guān)于BD對稱,四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對稱.設(shè)菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1,未被蓋住部分的面積為S2,BP=x.(1)用含x的代數(shù)式分別表示S1,S2;(2)若S1=S2,求x的值

62、.3解析解析(1)在RtABO中,由tanABO=,得ABO=60,因為BP=x,所以BF=,FP=.菱形ABCD的面積等于ACBD=8.當0 x2時,S1=,S2=8-.當2x4時,四邊形PFBG的面積等于.又因為PO=x-2,MN=,所以PMN的面積等于,所以五邊形BGNMF的面積等于-,所以S1=2=-+8,AOBO32x32x123232x3232x234x2(2)3x2(2)3x234x2(2)3x223(2)43xx23(8)6x3S2=.(2)當0 x2時,由S1=S2,即=8-,解得x=2(舍去);當2x4時,由S1=S2,即-+8=,解得x=8-2或x=8+2(舍去).所以當

63、x=8-2時,S1=S2.23(8)6x232x3232x22(8)2 3x32(8)2 3x66621.(2014山東濟南,27,9分)如圖1,有一組平行線l1l2l3l4,正方形ABCD的四個頂點分別在l1,l2,l4,l3上,EG過點D且垂直l1于點E,分別交l2,l4于點F,G,EF=DG=1,DF=2.(1)AE=,正方形ABCD的邊長=;(2)如圖2,將AEG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AED,旋轉(zhuǎn)角為(0b).下列結(jié)論:BCG DCE;BGDE;=;(a-b)2SEFO=b2SDGO.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A.4個B.3個C.2個D.1個DGGCGOCE答案答案B延長BG交DE于P,四

64、邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,BC=DC,CG=CE,BCG=DCE=90,BCG DCE;DCE=90,CDE+CED=90,BCG DCE,CDE=CBG,CBG+CED=90,BPE=90,BGDE;OGCE,DGODCE,=,;易知DGOEFO,SDGO SEFO=,(a-b)2SEFO=b2SDGO.4個結(jié)論中有3個是正確的,故選B.DGDCGOCEDGGCGOCE2DGEF2abb5.(2014蘇州,13,3分)已知正方形ABCD的對角線AC=,則正方形ABCD的周長為.2答案答案4解析解析設(shè)正方形的邊長為x.因為正方形的對角線長為,根據(jù)勾股定理,可列方程x2+x2=()

65、2,解得x=1(負值舍去),所以正方形的周長為4.226.(2016重慶,18,4分)正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,DE平分ADO交AC于點E,把ADE沿AD翻折,得到ADE,點F是DE的中點,連接AF,BF,EF.若AE=,則四邊形ABFE的面積是.2答案答案63 22解析解析如圖,連接EB、EE,設(shè)EE交AD于點N.作EMAB于M,易知四邊形AMEN為正方形.AE=,AM=EM=EN=AN=1,ED平分ADO,ENDA,EODB,EO=EN=1,AO=+1,AB=AO=2+,四邊形ABCD是正方形,根據(jù)對稱性及翻折的性質(zhì),得ADE ADE ABE,2222AE=AE,DAE

66、=DAE=45,AEE為等腰直角三角形,AB=2+,EM=1,SAEB=ABEM=1+,SAED=SADE=SAEB=1+,SBDE=SADB-SAEB-SAED=(2+)2-2=1+,S四邊形AEDE=2SAED=2+,SAEE=()2=1,SDEE=(2+)-1=1+,DF=EF,SEFE=SDEE=,DF=EF,SBDE=1+,SFEB=SBDE=,2122222122212221222212122212122S四邊形ABFE=SAEE+SEFE+SAEB+SEFB=1+1+=.1222212263 227.(2014黑龍江哈爾濱,19,3分)如圖,在正方形ABCD中,AC為對角線,點E在AB邊上,EFAC于點F,連接EC,AF=3,EFC的周長為12,則EC的長為.答案答案5解析解析設(shè)正方形ABCD的邊長為x,AC是正方形ABCD的對角線,BAC=45.EFAC,EF=AF=3,AE=3.EFC的周長為12,EC=12-x.BE=AB-AE=x-3,EC=,=12-x,解得x=.EC=12-=5.22222(3 2)xx22(3 2)xx27 2227 228.(2014揚州,