新教材2021-2022學(xué)年人教A版必修第一冊 5.2.1　三角函數(shù)的概念 學(xué)案.docx

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1、5.2三角函數(shù)的概念 5.2.1三角函數(shù)的概念 核心知識(shí)目標(biāo) 核心素養(yǎng)目標(biāo) 1.借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義. 意角的三角函數(shù)定義. 1.通過對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函 2.能利用三角函數(shù)的定義, 數(shù)定義的理解與運(yùn)用，重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的 判斷正弦、余弦、正切函數(shù) 數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng). 值在各象限內(nèi)的符號(hào). 2.通過三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào) 3.通過任意角的三角函數(shù)的 和公式一的應(yīng)用，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù) 定義理解終邊相同角的同一 定義理解終邊相同角的同一 學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng). 三角函數(shù)值相等. ?情境導(dǎo)入

2、在初中，我們通過直角三角形的邊角關(guān)系，學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余 弦、正切這三個(gè)三角函數(shù)，如圖所示. 斜邊 對(duì)邊 鄰邊 .對(duì)邊鄰邊,對(duì)邊 ZE義smQ,cosa,tana. 斜邊斜邊鄰邊探究:該定義中的三個(gè)三角函數(shù)，對(duì)于同樣大的一個(gè)銳角來說,如果三角形的大小發(fā)生了改變，其三角函數(shù)值是否也改變呢? 提示:不變. 當(dāng)cos0＜0且tan。＜0時(shí)，。是第二象限角，故cos9與tan0同號(hào)時(shí)，。是第一或第二象限角. ⑵若cos。與sin。異號(hào),則cos。＞0且sin?！?。或cos。〈0且sin。＞0. 當(dāng)cos。＞0且sin?！?時(shí)，。是第四象限角；當(dāng)cos?！?且sin?！?時(shí)，。

3、是第二象限角.故cos。與sin。異號(hào)時(shí)，。是第二或第四象限角. 寸方法總結(jié) 確定角所在的象限,應(yīng)分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定所在象限后取交集. 3Q探究點(diǎn)三誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用［例4］求下列各式的值. (1)cos —+tan(―); 34 (2)sin810°+tan1125°+cos420°. 解：⑴原式二cos(8n+?)+tan(-4兀+：)=cos-+tan-=-+1=-. 3422(2)原式=sin(2X360°+90°)+tan(3X360°+45°)+cos(360°+60°)=sin90°+tan45°+cos60° =1+1+址. 22即時(shí)訓(xùn)練4-1:求

4、值. (1) tan405°-sin450°+cos750sin*°s(-誓)+tan(-號(hào))cos號(hào)解：（1）原式二tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2X360°+30°)=tan 45°-sin90°+cos30°(2)原式=sin(2 (2)原式=sin(2 +：)cos(4n ?TC71,J71=sin-cos-+tan-cos364 寸方法總結(jié) 誘導(dǎo)公式（一）的實(shí)質(zhì)是:終邊相同的角，其同名三角函數(shù)的值相豆畫為這些角的終邊都是同一條射線，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這匝麗三角函數(shù)值相等.其作用是可以把任意角轉(zhuǎn)化為0°?360°之間的斌備用

5、例題 ［例1］若—>0且cosa?tana<0,則角a的終邊在（）tana （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 解析：由題，嚴(yán)〉0,tana 則a的終邊落在第一象限或第四象限；又cosa?tana<0,則a的終邊落在第三象限或第四象限; 綜上，a的終邊落在第四象限. 故選D. :例2］已知角a的終邊在直線y=V3x上,求sina,cosa,tana的值. 解：因?yàn)榻荙的終邊在直線y=V3x上，所以可設(shè)P(a,V3a)(a尹0)為角a終邊上任意一點(diǎn)， 則r=a 2+(V3a)2=2|a|(a乂0). 若a>0,則a為第一象限角,r=2a,所以sina二

6、祟二g2a2 a1工V3a/7Tcosa=—二一，tana=——=V3. 2a2a若a〈0,則a為第三象限角，r。2a,所以sina=——二—一，cosa=—=— ~2a22a2tana=—=V3. a［例3］判斷下列各式的符號(hào). (1)sin105°?cos230°;(2)sin-n?tan-n;88 (3)cos6?tan6;(4)sin4?tan(-—n). 4解:(1)105°,230°分別為第二、第三象限角,所以sin105°>0,cos230°<0,所以sin105°?cos230°<0. ⑵因?yàn)椤簇?Lo 所以:兀是第二象限角，8 所以sin-n>0,tan-

7、兀<0,88 7 7所以sin-n?tan-n<0. 8 8(3)因?yàn)橹ヘ?6<2n, <2所以6弧度的角為第四象限角， 所以cos6>0,tan6<0,所以cos6?tan6<0. ⑷因?yàn)榛?4<-Ji,2 所以sin4<0. 又因?yàn)閠an(-號(hào)兀)=tan(-6n+：)=tan->0, 4所以sin4?tan(-—n)<0. 4［例4］計(jì)算下列各式的值： (1) sin(-l395°)cos1110°+cos(T020°)sin750°;sin(-土馬+cos-?tan4兀. 65解：(1)原式 +60°)s 二sin(-4X360°+45°)cos(3X360

8、°+30°)+cos(-3X360°in(2X360°+30°) =sin45°cos30°+cos60°sin30°(2)原式二sin(-2n+?)+cos(2兀+?)?tan(4n+0)二sin?+cos?X(4. 旦xdx 222 1011+V6 -=—+-= 2444 ?課堂達(dá)標(biāo) 1.（多選題）若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-l,-1）,則下列各式正確的是(AD)(A)tana二1(B)sina=-1 (C)cosa=—(D)sina=-—22 解析：由點(diǎn)P(-l,-1)的坐標(biāo)計(jì)算可得r=J(-1)2+(-1)?二VX則sina=-^=-—,cosa=-^=-—,tana

9、=—=1,故選AD. V22\22~12.已知點(diǎn)P(tana,sina)在第三象限，則角a的終邊在(D) (A)第一象限(B)第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：由點(diǎn)P（tana,sina）在第三象限，可得了[ tsina<0所以角a的終邊在第四象限.故選D. 3.cos 1371 +tan 解析：原式二cos(2n+?+tan(2n-等)=cos-+tan-63 夾+必 2 3^3. 2答案: 答案: 3^3 3 4.已矢口sina=-,tan 5 a=-&則角a的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo) 4 解析:設(shè)角a的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)是（x。

10、,y°）,則由sinaW知y0=|. 。J 又tana=-美竺4%o 故x0=y0X(--)35 答案:(41) 1.任意角的三角函數(shù)的定義 ［問題1-11如圖，銳角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P(x,y),你能否用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示sina,cosa,tana?這一結(jié)論能否推廣到q是任意角時(shí)的情形呢？ 提示:根據(jù)初中所學(xué)在直角三角形中正弦、余弦、正切的定義，得sin a二y,cosa=x,tana二Y(xNO),這一結(jié)論能推廣到Q是任意角時(shí)的 X 情形. ［問題1-2］如果角。的終邊落在y軸上,這時(shí)其終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？sina,cosa,tanQ的值是否還存在？

11、 提示:終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)或(0,-1),這時(shí)tan。的值不存在，因?yàn)榉帜覆荒転榱悖玸ina,cosQ的值仍然存在. 梳理1任意角的三角函數(shù)的定義 4-L刖 如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，aGR,它的終邊0P與 提 單位圓交于點(diǎn)P(x,y) V 次1,0) 續(xù)表 定 義 正 弦 把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)K叫做01的正弦，記作sinQ,即sina 余 弦 把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2L叫做a的余弦，記作cosa,即cosa 正 切 把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值Y叫做a的正切，記作tan X a,即tana=-(xt^0) X 角 函

12、數(shù) 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù) 2.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) ［問題2］根據(jù)三角函數(shù)的定義，各個(gè)三角函數(shù)值是用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的，當(dāng)角在不同象限時(shí)，其與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)就不同，因此其各個(gè)三角函數(shù)值的正負(fù)就不同，你能推導(dǎo)出sina,cos a,tana在不同象限內(nèi)的符號(hào)嗎？ 提示：當(dāng)a在第一象限時(shí)，sina>0,cosa>0,tan<^〉0；當(dāng)(1在第二象限時(shí)，sina>0,cosa<0,tana<0;當(dāng)a在第三象限時(shí)，sina <0,cosa<0,tana>0;當(dāng)a在第四象限時(shí)，sina<0,co

13、sa>0,tana<0. 梳理2三角函數(shù)值的符號(hào) 如圖所示. + 十 y ， + y + 0 X 0 X 0 X + + sinacosatana 正弦:一、二象限正，三、四象限負(fù)； 解析：由sina=|>0得角a的終邊在第一或第二象限；由cosa°二-m。得角q的終邊在第二或第三象限. 綜上，角a所在的象限是第二象限.故選B. c,/47n\19nsm——）二,COS——=? 63解析：sin（-學(xué)）二sin（-8兀+：）二sin:二 1971（c,7l\711cos——=cos（6兀+一）=cos一二一. 3 332答案球7

14、 22已知角a的終邊過點(diǎn)P（5,a）,且tan。二-§則&=，sina +cosa的值為?解析:根據(jù)三角函數(shù)的定義,tana 55所以a=-12. 所以P(5,-12),r二13,所以sina=-i|, JLO5 cosa=—,13 _7從而sina+cosa=-—. 13答案：-12-日 途課堂探究?素養(yǎng)培育三Q探究點(diǎn)一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用［例1］設(shè)索0,角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（-3a,4a）,求sina +2cosa的值. 解：因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上，則|OP|=1,即J(-3a)BpJ(-3a)24-(4a)2=l,解得a=±|.當(dāng)定T時(shí),p點(diǎn)的坐標(biāo)為G，-9，所

15、以sinacosa 即J(-3a)BpJ(-3a)24-(4a)2=l,解得a=±|.當(dāng)定T時(shí),p點(diǎn)的坐標(biāo)為G，-9，所以sinacosa 55 所以sina+2cosa=--+2X 555 當(dāng)時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-|,|), 3 所以sina=-,cosa=--， 所以sina+2cosa=--2X 55 ［變式訓(xùn)練1-2］若將本例條件改為“角a的終邊過點(diǎn)P(-3a,4a)(a尹0)”，其結(jié)果又如何？ 解:r=J(-3a)2+(4a)之二51a. ①若a〉0,則r=5a, 口.y4a4%~3a3 H.sina=-=—=-,cosa=-=—— r5a5r5a5

16、 +(4a)2=1,解得a=±|. 因?yàn)閍<0,所以a=-|,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為G《)，JJ 所以sinacosa55 所以sina+2cosa---+2X-=^. 555［變式訓(xùn)練1-1］若將本例中“成0”刪掉,其他條件不變，結(jié)果又是什么？ 解:因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上，則|0P|二1,所以sina+2cosa二--2X-=--. 555②若a<0,則r=-5a, 口.4a4-3a3H.sina二——二一一,cosa=——=-. ~5ci5-5q5所以sina+2cosa二--+2X-=-. 555寸方法總結(jié) 由角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值已知角a的終邊在直線上時(shí)，常用

17、的解題方法有以下兩種： ① 先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值. ② 在a的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r>0),則sina=-,cosa=-,tana二匕已知a的終邊求a的三角函數(shù)值時(shí)，用這TXX 幾個(gè)公式更方便. (1) 當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字每武負(fù)的辨別,若正、負(fù)未定，則需分類討論. 耳探究點(diǎn)二三角函數(shù)值的符號(hào)探究角度1根據(jù)確定的角確定其函數(shù)值符號(hào) ［例2］確定下列各值的符號(hào). (1)cos260°;(2)sin(--);tan(-672°20');(4)ta

18、n—. 3解:⑴因?yàn)?60°是第三象限角, 所以cos260°<0. (2)因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以sin(-?)〈(). ⑶由-672°20'=47°40'+(-2)X360°,可知-672°20,是第一象限角， 所以tan(-672°20')>0.⑷由丹二*2兀，可知半是第三象限角，所以tan>0. 3即時(shí)訓(xùn)練2-1:判斷下列各式的符號(hào). (1) tan191°-cos191°;(2)sin2?cos3?tan4. 解:⑴因?yàn)?91。是第三象限角，所以tan191°>0,cos191°<0,所以tan191°-cos191°>0. (2) 因?yàn)?是第二象限角，3是第二象限角

19、，4是第三象限角，所以sin2>0,cos3<0,tan4>0, 所以sin2?cos3?tan4<0. 寸方法總結(jié) 根據(jù)確定的角判斷其相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào),首先利用終邊相麗角將所給角轉(zhuǎn)化為(0,2兀］內(nèi)的角，判斷其所在象限后，結(jié)合三角函藪將征確定符號(hào). 探究角度2根據(jù)三角函數(shù)值符號(hào)，確定角的終邊所在象限［例3］根據(jù)下列條件，確定9是第幾象限角. (2)cos0與sin0同號(hào). 解:(l)cos。與tan。異號(hào)，有以下兩種情況： rcos3>0,或［cos。<0,tan。V0”〔tan。>0. 因?yàn)閏ose>0,所以e是第一或第四象限角或終邊在X軸的正半軸上的角. 因?yàn)閠an

20、?！?,所以。是第二或第四象限角. 所以滿足的角9是第四象限角.同理可判斷滿足｛詈%；*的角o是第三象限角.所以滿足cos。與tan。異號(hào)的角。是第三或第四象限角. ⑵因?yàn)閏os。與sin。同號(hào)，所以rxa’csH若sin?！?且cos0>0,則。是第一象限角. 若sin?！?且cos0<0,則。是第三象限角. 所以當(dāng)cos。與sin。同號(hào)時(shí)，。是第一或第三象限角. ［變式訓(xùn)練3-1］分別確定。是第幾象限角. (1) cos。與tan0同號(hào)；cos。與sin。異號(hào). 解：⑴若cos。與tan。同號(hào)，則cos。〉0且tan。>0或cos9<0且tan。<0. 當(dāng)cos?！?且tan9>0時(shí)，9是第一象限角；